3次方程式のべき根による解法 - エレファント・ビジュアライザー調査記録

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ の根を $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ とすると $x^3 + ax^2 + bx + c = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ が成り立ちます。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ のべき根による解法とは、 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ を、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の足し算、引き算、掛け算、割り算、平方根、立方根の組み合わせだけで表すということです。複素数 $\omega$ を $1$ の原始3乗根とします。(3乗して $1$ になる複素数のうちで3乗しないと $1$ にならないもの。 $\omega^3 = 1$ であることから $(\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1) = 0$ となることより $\omega = 1$ または $\omega = \frac{-1 \pm \sqrt 3 i }{2}$ となります。ここで $\omega \ne 1$ であることから、 $\omega = \frac{-1 + \sqrt 3 i }{2}$ か $\omega = \frac{-1 - \sqrt 3 i }{2}$ のどちらかとなります。どちらでもよいのですが、 $\omega = \frac{-1 + \sqrt 3 i }{2}$ としておきます。)