[定理]
対称式は基本対称式の多項式となります。
[証明]
を対称式とします。
は
という形の式の和の形で書くことができます。 この
という形の式を単項式といいます。
の中に(和の成分として)含まれている単項式を項ということにします。
の中に
と
という項があるとすると、これらの項をまとめて
とすることができます。 よって
に含まれる項
は
、
、…、
のどれかが異なるようにすることができます。 多項式
をこの形に書き直したときの
に含まれる項全体の集合を
とします。
を
次の対称群(集合
の置換(集合
からそれ自身への全単射)全体の集合)の元とすると、 単項式
に単項式
を対応させる写像を定義することができます。 この(単項式全体の集合からそれ自身への)写像も
と書くことにします。 このような写像を
の置換ということにします。
の元
をとります。
を
の置換とすると、
は対称式なので
も
の元となります。
に対して、
のすべての置換
によってできる
(の中の異なるもの)全体の集合を
とすると、
は
に含まれます。
単項式全体の集合に以下のように順序を定義します。 単項式
と
が
であることを、ある
(
)に対して
かつ
となることと定義します。
または
のとき
と定義します。 この順序
は全順序となります。
は空ではないとして、順序
に関して最大となる
の元
をとります。
の中での次数が最大の元は
の元となります。この中での次数が最大の元は
の元となります。 これを繰り返すとの中で順序
に関して最大となる元は
となります。 よっては
を含み、
の中で順序に関して最大となる元を
とすると
となります。
よって
とおくと順序に関する
の最大の元
は
となります。 ここで、もし
が基本対称式の多項式であるとすると、
も基本対称式の多項式となります。 よって、
が基本対称式の多項式であることを証明すればよいということになります。
から
を作ったのと同じ方法で、
から
、
から
、と順に作っていくと、どこかの
で
となるか、または順序
に関して最大となる元の
の次数は
となります。すなわち
は定数となるので、基本対称式の多項式となります。 したがって元の
も基本対称式の多項式となるということがわかります。
[証明終わり]