代数的構造による圏論(7) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

⑦極限，余極限の定義

続いて極限と積などの関係を見ていきます。

積・余積

圏 $\mathcal{J}$ を対象が $a, b$ の二つで、射が恒等射だけの圏とします。 $\mathcal{J} = \{a, b\}$ と書くことにします。

$\mathcal{J}$ 型の図式(圏 $\mathcal{J}$ から圏 $\mathcal{C}$ への関手) $D$ に対する極限( $(\Delta \to D)$ の終対象)が存在するとします。 $A = D(a)$ 、 $B = D(b)$ とおきます。

「 $D$ を圏 $\mathbf{1}$ (対象を $\cdot$ とする)から $\mathrm{Fun}(\mathcal{J}, \mathcal{C})$ への関手」と見たものを $D'$ とします。 $(\Delta \to D)$ は、 $\mathcal{C}$ の対象 $X$ 、 $\mathbf{1}$ の(ただ一つの)対象 $\cdot$ 、 $\mathrm{Fun}(\mathcal{J}, \mathcal{C})$ の射 $\Delta(X) \xrightarrow{p} D'(\cdot) = D$ からなる三つ組 $\langle X, \cdot, p \rangle$ を対象として、 $\langle X, \cdot, p \rangle$ から $\langle Y, \cdot, q \rangle$ への射としては、 $\mathcal{C}$ の射 $X \xrightarrow{u} Y$ と $\mathbf{1}$ の(ただ一つの)射 $\cdot$ の組 $\langle u, \cdot \rangle$ で $\require{AMScd}$
\begin{CD}
\Delta(X) @> p >> D \\
@V \Delta(u) VV @| \\
\Delta(Y) @>> q > D
\end{CD}
を可換とする射からなる圏となります。各成分に対して
\begin{CD}
X @> p_j >> D(j) \\
@V u VV @| \\
Y @>> q_j > D(j)
\end{CD}
は可換となります。

よって図式
\begin{CD}
A @< q_a << X @> q_b >> B \\
@| @VV u V @| \\
A @<< p_a < L @>> p_b > B
\end{CD}
が可換となるすべての射 $u$ によって作られる射が $(\Delta \to D)$ の射となります。

$(\Delta \to D)$ の終対象 $\langle L, \cdot, p \rangle$ は任意の $\langle X, \cdot, q \rangle$ に対して $u: X \to L$ が存在して上記の図式が可換となるものとなります。よって $L$ (または $\langle L, p_a, p_b \rangle$ )は積 $A \times B$ と同型となります。

余積は双対となります。

等化子(イコライザー)・余等化子

圏 $\mathcal{J}$ を対象が $a, b$ の二つで、射が恒等射のほか、 $a \xrightarrow{\alpha} b$ 、 $a \xrightarrow{\beta} b$ だけの圏とします。 $\mathcal{J} = \{a, b; \ a \xrightarrow{\alpha} b, a \xrightarrow{\beta} b\}$ と書くことにします。

$\mathcal{J}$ 型の図式(圏 $\mathcal{J}$ から圏 $\mathcal{C}$ への関手) $D$ に対する極限( $(\Delta \to D)$ の終対象)が存在するとします。 $A = D(a)$ 、 $B = D(b)$ 、 $f = D(\alpha)$ 、 $g = D(\beta)$ とおきます。

自然変換 $\Delta(X) \overset{p}{\Longrightarrow} D \ (: \mathcal{J} \to \mathcal{C})$ は、 $\mathcal{J}$ の対象 $j$ に対して成分 $p_j$ が $X = \Delta(X)(j) \xrightarrow{p_j} D(j) \ (\in \mathcal{C})$ で $\mathcal{J}$ の射 $j \xrightarrow{f} k$ に対して
\begin{CD}
X @> p_j >> D(j) \\
@| @VV D(f) V \\
X @>> p_k > D(k)
\end{CD}
を可換とするものとなります。これは
\begin{CD}
A @< p_a << X @> p_a >> A \\
@V f VV @| @VV g V \\
B @<< p_b < X @>> p_b > B
\end{CD}
を可換とするものとなります。よって
\begin{CD}
A @< p_a << X @> p_a >> A \\
@V f VV @VV p_b V @VV g V \\
B @= B @= B \\
\end{CD}
を可換とするものとなります。

よって上記の条件を満たす $\langle L, \cdot, p \rangle$ と $\langle X, \cdot, q \rangle$ に対して図式
\begin{CD}
A @< q_a << X @> q_b >> B \\
@| @VV u V @| \\
A @<< p_a < L @>> p_b > B
\end{CD}
が可換となるすべての射 $u$ によって作られる射が $(\Delta \to D)$ の射となります。

$(\Delta \to D)$ の終対象 $\langle L, \cdot, p \rangle$ は任意の $\langle X, \cdot, q \rangle$ に対して $u: X \to L$ が存在して上記の図式が可換となるものとなります。

よって $L$ (または $\langle L, p_a, p_b \rangle$ )は $f$ と $g$ の等化子(以下の定義を参照)となります。

定義 $A \xrightarrow{f} B$ と $A \xrightarrow{g} B$ に対して、対象 $E$ と射 $E \xrightarrow{e} A$ で $f \circ e = g \circ e$ を満たすものであって、対象 $X$ と射 $X \xrightarrow{h} A$ が $f \circ h = g \circ h$ を満たすならば射 $X \xrightarrow{u} E$ が一意的に存在して $e \circ u = h$ を満たすとき、 $E$ と射 $E \xrightarrow{e} A$ の組を $f$ と $g$ の等化子(イコライザー)と呼びます。

余等化子は双対となります。

引き戻し(ファイバー積)・押し出し

圏 $\mathcal{J}$ を対象が $a, b, c$ の三つで、射が恒等射のほか、 $a \xrightarrow{\alpha} c$ 、 $b \xrightarrow{\beta} c$ だけの圏とします。 $\mathcal{J} = \{a, b; \ a \xrightarrow{\alpha} c, b \xrightarrow{\beta} c\}$ と書くことにします。

$\mathcal{J}$ 型の図式(圏 $\mathcal{J}$ から圏 $\mathcal{C}$ への関手) $D$ に対する極限( $(\Delta \to D)$ の終対象)が存在するとします。 $A = D(a)$ 、 $B = D(b)$ 、 $C = D(c)$ 、 $f = D(\alpha)$ 、 $g = D(\beta)$ とおきます。

自然変換 $\Delta(X) \overset{p}{\Longrightarrow} D \ (: \mathcal{J} \to \mathcal{C})$ は、 $\mathcal{J}$ の対象 $j$ に対して成分 $p_j$ が $X = \Delta(X)(j) \xrightarrow{p_j} D(j) \ (\in \mathcal{C})$ で $\mathcal{J}$ の射 $j \xrightarrow{f} k$ に対して
\begin{CD}
X @> p_j >> D(j) \\
@| @VV D(f) V \\
X @>> p_k > D(k)
\end{CD}
を可換とするものとなります。これは
\begin{CD}
A @< p_a << X @> p_b >> B \\
@V f VV @| @VV g V \\
C @<< p_c < X @>> p_c > C
\end{CD}
を可換とするものとなります。よって
\begin{CD}
A @< p_a << X @> p_b >> B \\
@V f VV @VV p_c V @VV g V \\
C @= C @= C \\
\end{CD}
を可換とするもの、すなわち
\begin{CD}
X @> p_b >> B \\
@V p_b VV @VV g V \\
A @>> f > C \\
\end{CD}
を可換とするものとなります。

よって $L$ (または $\langle L, p_a, p_b \rangle$ )は $f$ と $g$ の引き戻し(以下の定義を参照)となります。

定義 $A \xrightarrow{f} C$ と $B \xrightarrow{g} C$ に対して、対象 $P$ と射 $P \xrightarrow{p} A$ と $P \xrightarrow{q} B$ で $f \circ p = g \circ q$ を満たすものであって、対象 $X$ と射 $X \xrightarrow{h} A$ と $X \xrightarrow{k} B$ が $f \circ h = g \circ k$ を満たすならば射 $X \xrightarrow{u} P$ が一意的に存在して $p \circ u = h$ 、 $q \circ u = k$ を満たすとき、 $P$ と射 $P \xrightarrow{p} A$ と $P \xrightarrow{q} B$ の組を $f$ と $g$ の引き戻し(ファイバー積)と呼びます。