⑦極限,余極限の定義
続いて極限と積などの関係を見ていきます。
積・余積
圏 を対象が
の二つで、射が恒等射だけの圏とします。
と書くことにします。
型の図式(圏
から圏
への関手)
に対する極限(
の終対象)が存在するとします。
、
とおきます。
「 を圏
(対象を
とする)から
への関手」と見たものを
とします。
は、
の対象
、
の(ただ一つの)対象
、
の射
からなる三つ組
を対象として、
から
への射としては、
の射
と
の(ただ一つの)射
の組
で
\begin{CD}
\Delta(X) @> p >> D \\
@V \Delta(u) VV @| \\
\Delta(Y) @>> q > D
\end{CD}
を可換とする射からなる圏となります。各成分に対して
\begin{CD}
X @> p_j >> D(j) \\
@V u VV @| \\
Y @>> q_j > D(j)
\end{CD}
は可換となります。
自然変換 は、
の対象
に対して成分
が
で
の射
に対して
\begin{CD}
X @> p_j >> D(j) \\
@| @VV D(f) V \\
X @>> p_k > D(k)
\end{CD}
を可換とするものとなります。これは が恒等射なので成り立ちます。
よって図式
\begin{CD}
A @< q_a << X @> q_b >> B \\
@| @VV u V @| \\
A @<< p_a < L @>> p_b > B
\end{CD}
が可換となるすべての射 によって作られる射が
の射となります。
の終対象
は 任意の
に対して
が存在して上記の図式が可換となるものとなります。よって
(または
)は積
と同型となります。
余積は双対となります。
等化子(イコライザー)・余等化子
圏 を対象が
の二つで、射が恒等射のほか、
、
だけの圏とします。
と書くことにします。
型の図式(圏
から圏
への関手)
に対する極限(
の終対象)が存在するとします。
、
、
、
とおきます。
自然変換 は、
の対象
に対して成分
が
で
の射
に対して
\begin{CD}
X @> p_j >> D(j) \\
@| @VV D(f) V \\
X @>> p_k > D(k)
\end{CD}
を可換とするものとなります。これは
\begin{CD}
A @< p_a << X @> p_a >> A \\
@V f VV @| @VV g V \\
B @<< p_b < X @>> p_b > B
\end{CD}
を可換とするものとなります。よって
\begin{CD}
A @< p_a << X @> p_a >> A \\
@V f VV @VV p_b V @VV g V \\
B @= B @= B \\
\end{CD}
を可換とするものとなります。
よって上記の条件を満たす と
に対して図式
\begin{CD}
A @< q_a << X @> q_b >> B \\
@| @VV u V @| \\
A @<< p_a < L @>> p_b > B
\end{CD}
が可換となるすべての射 によって作られる射が
の射となります。
の終対象
は 任意の
に対して
が存在して上記の図式が可換となるものとなります。
よって (または
)は
と
の等化子(以下の定義を参照)となります。
定義 と
に対して、対象
と 射
で
を満たすものであって、対象
と 射
が
を満たすならば射
が一意的に存在して
を満たすとき、
と 射
の組を
と
の等化子(イコライザー)と呼びます。
余等化子は双対となります。
引き戻し(ファイバー積)・押し出し
圏 を対象が
の三つで、射が恒等射のほか、
、
だけの圏とします。
と書くことにします。
型の図式(圏
から圏
への関手)
に対する極限(
の終対象)が存在するとします。
、
、
、
、
とおきます。
自然変換 は、
の対象
に対して成分
が
で
の射
に対して
\begin{CD}
X @> p_j >> D(j) \\
@| @VV D(f) V \\
X @>> p_k > D(k)
\end{CD}
を可換とするものとなります。これは
\begin{CD}
A @< p_a << X @> p_b >> B \\
@V f VV @| @VV g V \\
C @<< p_c < X @>> p_c > C
\end{CD}
を可換とするものとなります。よって
\begin{CD}
A @< p_a << X @> p_b >> B \\
@V f VV @VV p_c V @VV g V \\
C @= C @= C \\
\end{CD}
を可換とするもの、すなわち
\begin{CD}
X @> p_b >> B \\
@V p_b VV @VV g V \\
A @>> f > C \\
\end{CD}
を可換とするものとなります。
よって上記の条件を満たす と
に対して図式
\begin{CD}
A @< q_a << X @> q_b >> B \\
@| @VV u V @| \\
A @<< p_a < L @>> p_b > B
\end{CD}
が可換となるすべての射 によって作られる射が
の射となります。
の終対象
は 任意の
に対して
が存在して上記の図式が可換となるものとなります。
よって (または
)は
と
の引き戻し(以下の定義を参照)となります。
定義 と
に対して、対象
と 射
と
で
を満たすものであって、対象
と 射
と
が
を満たすならば射
が一意的に存在して
、
を満たすとき、
と 射
と
の組を
と
の引き戻し(ファイバー積)と呼びます。
押し出しは双対となります。