エレファント・コンピューティング調査報告

極限に関する順序を論理プログラミングの手法を使って指定することを目指すブロクです。

代数的構造による圏論(7)

⑦極限,余極限の定義

続いて極限と積などの関係を見ていきます。

積・余積

 \mathcal{J} を対象が  a, b の二つで、射が恒等射だけの圏とします。 \mathcal{J} = \{a, b\} と書くことにします。

 \mathcal{J} 型の図式(圏  \mathcal{J} から圏  \mathcal{C} への関手)  D に対する極限( (\Delta \to D) の終対象)が存在するとします。 A = D(a) B = D(b) とおきます。

 D を圏  \mathbf{1} (対象を  \cdot とする)から  \mathrm{Fun}(\mathcal{J}, \mathcal{C}) への関手」と見たものを  D' とします。 (\Delta \to D) は、 \mathcal{C} の対象  X \mathbf{1} の(ただ一つの)対象  \cdot \mathrm{Fun}(\mathcal{J}, \mathcal{C}) の射  \Delta(X) \xrightarrow{p} D'(\cdot) = D からなる三つ組  \langle X, \cdot, p \rangle を対象として、 \langle X, \cdot, p \rangle から  \langle Y, \cdot, q \rangle への射としては、 \mathcal{C} の射  X \xrightarrow{u} Y \mathbf{1} の(ただ一つの)射  \cdot の組  \langle u, \cdot \rangle \require{AMScd}
\begin{CD}
\Delta(X) @> p >> D \\
@V \Delta(u) VV @| \\
\Delta(Y) @>> q > D
\end{CD}
を可換とする射からなる圏となります。各成分に対して
\begin{CD}
X @> p_j >> D(j) \\
@V u VV @| \\
Y @>> q_j > D(j)
\end{CD}
は可換となります。

自然変換  \Delta(X) \overset{p}{\Longrightarrow} D \ (: \mathcal{J} \to \mathcal{C}) は、 \mathcal{J} の対象  j に対して成分  p_j X = \Delta(X)(j) \xrightarrow{p_j} D(j) \ (\in \mathcal{C}) \mathcal{J} の射  j \xrightarrow{f} k に対して
\begin{CD}
X @> p_j >> D(j) \\
@| @VV D(f) V \\
X @>> p_k > D(k)
\end{CD}
を可換とするものとなります。これは  f が恒等射なので成り立ちます。

よって図式
\begin{CD}
A @< q_a << X @> q_b >> B \\
@| @VV u V @| \\
A @<< p_a < L @>> p_b > B
\end{CD}
が可換となるすべての射  u によって作られる射が  (\Delta \to D) の射となります。

 (\Delta \to D) の終対象  \langle L, \cdot, p \rangle は 任意の  \langle X, \cdot, q \rangle に対して  u: X \to L が存在して上記の図式が可換となるものとなります。よって  L (または  \langle L, p_a, p_b \rangle)は積  A \times B と同型となります。

余積は双対となります。

等化子(イコライザー)・余等化子

 \mathcal{J} を対象が  a, b の二つで、射が恒等射のほか、 a \xrightarrow{\alpha} b a \xrightarrow{\beta} b だけの圏とします。 \mathcal{J} = \{a, b; \ a \xrightarrow{\alpha} b, a \xrightarrow{\beta} b\} と書くことにします。

 \mathcal{J} 型の図式(圏  \mathcal{J} から圏  \mathcal{C} への関手)  D に対する極限( (\Delta \to D) の終対象)が存在するとします。 A = D(a) B = D(b) f = D(\alpha) g = D(\beta) とおきます。

自然変換  \Delta(X) \overset{p}{\Longrightarrow} D \ (: \mathcal{J} \to \mathcal{C}) は、 \mathcal{J} の対象  j に対して成分  p_j X = \Delta(X)(j) \xrightarrow{p_j} D(j) \ (\in \mathcal{C}) \mathcal{J} の射  j \xrightarrow{f} k に対して
\begin{CD}
X @> p_j >> D(j) \\
@| @VV D(f) V \\
X @>> p_k > D(k)
\end{CD}
を可換とするものとなります。これは
\begin{CD}
A @< p_a << X @> p_a >> A \\
@V f VV @| @VV g V \\
B @<< p_b < X @>> p_b > B
\end{CD}
を可換とするものとなります。よって
\begin{CD}
A @< p_a << X @> p_a >> A \\
@V f VV @VV p_b V @VV g V \\
B @= B @= B \\
\end{CD}
を可換とするものとなります。

よって上記の条件を満たす  \langle L, \cdot, p \rangle \langle X, \cdot, q \rangle に対して図式
\begin{CD}
A @< q_a << X @> q_b >> B \\
@| @VV u V @| \\
A @<< p_a < L @>> p_b > B
\end{CD}
が可換となるすべての射  u によって作られる射が  (\Delta \to D) の射となります。

 (\Delta \to D) の終対象  \langle L, \cdot, p \rangle は 任意の  \langle X, \cdot, q \rangle に対して  u: X \to L が存在して上記の図式が可換となるものとなります。

よって  L (または  \langle L, p_a, p_b \rangle)は  f g の等化子(以下の定義を参照)となります。

定義  A \xrightarrow{f} B A \xrightarrow{g} B に対して、対象  E と 射  E \xrightarrow{e} A f \circ e = g \circ e を満たすものであって、対象  X と 射  X \xrightarrow{h} A f \circ h = g \circ h を満たすならば射  X \xrightarrow{u} E が一意的に存在して  e \circ u = h を満たすとき、 E と 射  E \xrightarrow{e} A の組を  f g の等化子(イコライザー)と呼びます。

余等化子は双対となります。

引き戻し(ファイバー積)・押し出し

 \mathcal{J} を対象が  a, b, c の三つで、射が恒等射のほか、 a \xrightarrow{\alpha} c b \xrightarrow{\beta} c だけの圏とします。 \mathcal{J} = \{a, b; \ a \xrightarrow{\alpha} c, b \xrightarrow{\beta} c\} と書くことにします。

 \mathcal{J} 型の図式(圏  \mathcal{J} から圏  \mathcal{C} への関手)  D に対する極限( (\Delta \to D) の終対象)が存在するとします。 A = D(a) B = D(b) C = D(c) f = D(\alpha) g = D(\beta) とおきます。

自然変換  \Delta(X) \overset{p}{\Longrightarrow} D \ (: \mathcal{J} \to \mathcal{C}) は、 \mathcal{J} の対象  j に対して成分  p_j X = \Delta(X)(j) \xrightarrow{p_j} D(j) \ (\in \mathcal{C}) \mathcal{J} の射  j \xrightarrow{f} k に対して
\begin{CD}
X @> p_j >> D(j) \\
@| @VV D(f) V \\
X @>> p_k > D(k)
\end{CD}
を可換とするものとなります。これは
\begin{CD}
A @< p_a << X @> p_b >> B \\
@V f VV @| @VV g V \\
C @<< p_c < X @>> p_c > C
\end{CD}
を可換とするものとなります。よって
\begin{CD}
A @< p_a << X @> p_b >> B \\
@V f VV @VV p_c V @VV g V \\
C @= C @= C \\
\end{CD}
を可換とするもの、すなわち
\begin{CD}
X @> p_b >> B \\
@V p_b VV @VV g V \\
A @>> f > C \\
\end{CD}
を可換とするものとなります。

よって上記の条件を満たす  \langle L, \cdot, p \rangle \langle X, \cdot, q \rangle に対して図式
\begin{CD}
A @< q_a << X @> q_b >> B \\
@| @VV u V @| \\
A @<< p_a < L @>> p_b > B
\end{CD}
が可換となるすべての射  u によって作られる射が  (\Delta \to D) の射となります。

 (\Delta \to D) の終対象  \langle L, \cdot, p \rangle は 任意の  \langle X, \cdot, q \rangle に対して  u: X \to L が存在して上記の図式が可換となるものとなります。

よって  L (または  \langle L, p_a, p_b \rangle)は  f g の引き戻し(以下の定義を参照)となります。

定義  A \xrightarrow{f} C B \xrightarrow{g} C に対して、対象  P と 射  P \xrightarrow{p} A P \xrightarrow{q} B f \circ p = g \circ q を満たすものであって、対象  X と 射  X \xrightarrow{h} A X \xrightarrow{k} B f \circ h = g \circ k を満たすならば射  X \xrightarrow{u} P が一意的に存在して  p \circ u = h q \circ u = k を満たすとき、 P と 射  P \xrightarrow{p} A P \xrightarrow{q} B の組を  f g の引き戻し(ファイバー積)と呼びます。

押し出しは双対となります。