随伴(3) 随伴の三角等式による定義 随伴の定義についても本に従って見ていきます。 随伴の三角等式による定義 定義 8.1 圏 、 間の関手 、 について、自然変換 、 が存在してこれらが三角等式を満たすとき、すなわち \begin{CD} F @> 1_F >> F \\ @V Fη VV @…

随伴(2) 積関手と冪関手 自由マグマと自由モノイドの関係を使って、随伴(の一部)を説明することができると思ったのですが、まだできていないし、随伴の全体を説明することは難しいと思われるので、また「圏論の道案内 ～矢印でえがく数学の世界～」の「第8章…

随伴(1) 自由マグマ まず基本になると思われる自由マグマから始めます。 マグマ 集合 が二項演算 を持つとき をマグマと呼びます。単に と表すこともあります。 部分マグマ をマグマとします。 に対して と書くことにします。 が を満たすとき は の への制…

トポス(1) この段階で数学的帰納法を使うことによって図式を使わずに説明することができるようになったと思うのですが、簡単にはいかないのでトポスについてもう少し調べてみたいと思います。[4]、[5]、[6]、[7]の本を持っていたので少し読んでみようと思い…

第5章まで読めばろいろできると思われるのですが、数学的帰納法について考えるには第7章まで読んだほうが良いようなのでさらに引用していきます。そこまでは少し図式を描いていきます。 第6章 冪：プログラムの本質 ①冪 定義 6.1 (冪) 積を持つ圏 の対象 に…

⑦極限，余極限の定義 続いて極限と積などの関係を見ていきます。 積・余積 圏 を対象が の二つで、射が恒等射だけの圏とします。 と書くことにします。 型の図式(圏 から圏 への関手) に対する極限( の終対象)が存在するとします。、 とおきます。「 を圏 (…

第5章 普遍性 最初の方は定義を引用するだけとします。 ①終対象と始対象 定義 5.1 圏 の対象 が、 の任意の対象 に対して から への射がただ一つ存在するとき、 を の終対象と呼びます。この一意的な射を と書きます。 の反対圏 の終対象を の始対象と呼びま…

自然変換については良い書き方が見つからないので、ほぼ「圏論の道案内 ～矢印でえがく数学の世界～」に従って書いていきます。 第4章 自然変換 ④自然変換の例2：hom 関手間の自然変換 まず「第3章 関手 ②関手の例1：順序を保つ写像，反変関手・双対圏」から…

このブログでは、通常の論理プログラミングでは無限に動くプログラムを書くことができないので「極限」の考え方でなんとかできないか、ということでやっています。ある種の射影的極限、帰納的極限は外積の定義を書いたところで書いたように、構成的に定義す…

「第4章 自然変換」を見ていきます。コンマ圏のところまでは、どうやれば良いのかわからないのでそのままの書き方で書いていくことにします。 第4章 自然変換 ①自然変換の定義1 、 を圏 から への関手とします。 このとき、 から への 自然変換 は の各対象 …

「圏論の道案内」では自然変換を中心に説明されているということなので、「第4章 自然変換」のあたりから読んでいこうと考えています。その前の「第3章 関手」ではいろいろな例が書かれていますが、これは自然変換に関連したものと思われます。その前に「前…

このブログでは普通の圏論の本に載っているような図式を書くことができないらしいので、「斜めの線を使わない圏論」では、自由生成モノイド、自由生成可換モノイド、自由生成半環などを構成するような方法で、極限、随伴などを説明することができないか検討…

まだ圏論の詳しい説明に入っていませんがしばらくこのまま続けます。自由群の説明ができるぐらいまでなんとか数式で説明していきたいのですが、どこまでできるか調べているところです。直積と直和(圏論の用語では積と余積)で作られた以下の集合を考えます。…

先日圏論の説明をしようとしましたが、ここでは可換図式の斜めの線が書けないらしいので可換図式を書くのがけっこう難しいです。そこで図を使わずに数式の変形だけで説明できないのか考えていきたいと思います。圏の定義から(Wikipediaに従って)説明していき…