群の性質(2)
今回は群の性質の続きを調べていきます。
前回の結果
「エレファントな群とリー代数(3)」では書き換え規則の集合 \begin{cases}
\rho_{1} & = & ( & x & \mapsto & e x & \to & x & ) \\
\rho_{2} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & e x & ) \\
\rho_{3} & = & ( & x & \mapsto & x^{-1} x & \to & e & ) \\
\rho_{4} & = & ( & x & \mapsto & e & \to & x^{-1} x & ) \\
\rho_{5} & = & ( & x, y, z & \mapsto & (x y) z & \to & x (y z) & ) \\
\rho_{6} & = & ( & x, y, z & \mapsto & x (y z) & \to & (x y) z & ) \\
\rho_{7} & = & ( & x & \mapsto & e^{-1} x & \to & x & ) \\
\rho_{8} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & e^{-1} x & ) \\
\rho_{9} & = & ( & x & \mapsto & (e^{-1})^{-1} x & \to & x & ) \\
\rho_{10} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & (e^{-1})^{-1} x & ) \\
\end{cases} により から \begin{matrix}
e^{-1} x & \xrightarrow{\rho_{2}} & e^{-1} (e x) & \xrightarrow{\rho_{6}} & (e^{-1} e) x & \xrightarrow{\rho_{3}} & e x & \xrightarrow{\rho_{1}} & x \\
\end{matrix} から \begin{matrix}
(e^{-1})^{-1} x & \xrightarrow{\rho_{8}} & (e^{-1})^{-1} (e^{-1} x) & \xrightarrow{\rho_{6}} & ((e^{-1})^{-1} e^{-1}) x & \xrightarrow{\rho_{3}} & e x & \xrightarrow{\rho_{1}} & x \\
\end{matrix} から \begin{matrix}
e^{-1} & \xrightarrow{\rho_{10}} & (e^{-1})^{-1} e^{-1} & \xrightarrow{\rho_{3}} & e \\
\end{matrix} が得られました。
前回の続き
以下の規則を付け加えます。\begin{cases}
\rho_{11} & = & ( & & \mapsto & e^{-1} & \to & e & ) \\
\rho_{12} & = & ( & & \mapsto & e & \to & e^{-1} & ) \\
\rho_{13} & = & ( & x & \mapsto & (x^{-1})^{-1} e & \to & x & ) \\
\rho_{14} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & (x^{-1})^{-1} e & ) \\
\rho_{15} & = & ( & x & \mapsto & (x^{-1})^{-1} & \to & x & ) \\
\rho_{16} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & (x^{-1})^{-1} & ) \\
\rho_{17} & = & ( & x & \mapsto & x x^{-1} & \to & e & ) \\
\rho_{18} & = & ( & x & \mapsto & e & \to & x x^{-1} & ) \\
\rho_{19} & = & ( & x & \mapsto & x e & \to & x & ) \\
\rho_{20} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & x e & ) \\
\rho_{21} & = & ( & x, y & \mapsto & (x y)^{-1} x & \to & y^{-1} & ) \\
\rho_{22} & = & ( & y, x & \mapsto & y^{-1} & \to & (x y)^{-1} x & ) \\
\end{cases} から \begin{matrix}
( x^{-1} )^{-1} e & \xrightarrow{\rho_{4}} & ( x^{-1} )^{-1} ( x_{4,0}^{-1} x_{4,0} ) & \xrightarrow{\rho_{6}} & ( ( x^{-1} )^{-1} z_{6,1}^{-1} ) z_{6,1} & \xrightarrow{\rho_{3}} & e x & \xrightarrow{\rho_{1}} & x \\
\end{matrix} から \begin{matrix}
( x^{-1} )^{-1} & \xrightarrow{\rho_{14}} & ( ( ( x^{-1} )^{-1} )^{-1} )^{-1} e & \xrightarrow{\rho_{2}} & ( ( ( x^{-1} )^{-1} )^{-1} )^{-1} ( e e ) \\ & \xrightarrow{\rho_{6}} & ( ( ( ( x^{-1} )^{-1} )^{-1} )^{-1} e ) e & \xrightarrow{\rho_{13}} & ( x^{-1} )^{-1} e & \xrightarrow{\rho_{13}} & x \\
\end{matrix} から \begin{matrix}
x x^{-1} & \xrightarrow{\rho_{16}} & ( x^{-1} )^{-1} x^{-1} & \xrightarrow{\rho_{3}} & e \\
x e & \xrightarrow{\rho_{16}} & ( x^{-1} )^{-1} e & \xrightarrow{\rho_{13}} & x \\
\end{matrix} から \begin{matrix}
( x y )^{-1} x & \xrightarrow{\rho_{20}} & ( x y )^{-1} ( x e ) & \xrightarrow{\rho_{18}} & ( x y )^{-1} ( x ( x_{18,1} x_{18,1}^{-1} ) ) \\ & \xrightarrow{\rho_{6}} & ( x y )^{-1} ( ( x y_{6,2} ) y_{6,2}^{-1} ) & \xrightarrow{\rho_{6}} & ( ( x y )^{-1} ( x y_{6,2} ) ) y_{6,2}^{-1} \\ & \xrightarrow{\rho_{3}} & e y^{-1} & \xrightarrow{\rho_{1}} & y^{-1} \\
\end{matrix} から \begin{matrix}
( x y )^{-1} & \xrightarrow{\rho_{20}} & ( x y )^{-1} e & \xrightarrow{\rho_{18}} & ( x y )^{-1} ( x_{18,1} x_{18,1}^{-1} ) \\ & \xrightarrow{\rho_{6}} & ( ( x y )^{-1} y_{6,2} ) y_{6,2}^{-1} & \xrightarrow{\rho_{21}} & y^{-1} x^{-1} \\
\end{matrix} が得られます。これで群の完備化で書いた関係が得られました。
