エレファントな群とリー代数(14) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

一般マグマの多項式の等式の合成(1)

書き換え規則 $\rho = (x_1, \cdots, x_n \mapsto a \to b)$ に対して、 $-\rho = (x_1, \cdots, x_n \mapsto b \to a)$ とします。 $e_\rho = \{\rho, -\rho\}$ を等式と考えます。これを $x_1, \cdots, x_n \mapsto a = b$ と書くことにします。書き換え規則の合成を等式の合成に書き直すことができます。

書き換え規則 $\rho$ 、 $\mu$ に対して書き換え規則の集合の合成 $e_\rho \cdot e_\mu$ を考えると、 $e_\rho \cdot e_\mu = e_\mu \cdot e_\rho$ となります。よって $e_\rho \cdot e_\mu$ を等式 $e_\rho$ 、 $e_\mu$ の合成からなる集合と考えることができます。

等式の集合 $E$ 、 $E'$ に対して $\displaystyle E \cdot E' = \bigcup \{e \cdot e' \mid e \in E, e' \in E'\}$ とします。等式の集合 $E$ に対して \begin{cases}
E_1 & = & E \\
E_{n+1} & = & E_n \cup (E_n \cdot E_n) \\
\end{cases} と定義します。

環の演算の操作はこれと同様のものになっています。まず $e_1, e_2 \in E_n$ をユーザーが選択し、次に $e' \in e_1 \cdot e_2$ をユーザーが選択して $E_{n+1} = E_n \cup \{e'\}$ とするようになっています。群の完備化も同様の操作になっています。

マグマの左単位元・右単位元

等式の集合 \begin{cases}
\mathrm{eq}_{1}: & x & \mapsto & e_L x & = & x \\
\mathrm{eq}_{2}: & x & \mapsto & x e_R & = & x \\
\end{cases} から $\mathrm{eq}_{1}, \mathrm{eq}_{2}$ を選択して合成すると \begin{cases}
\mathrm{ceq}_{1}: & x & \mapsto & e_L ( x e_R ) & = & x \\
\mathrm{ceq}_{2}: & x & \mapsto & ( e_L x ) e_R & = & x \\
\mathrm{ceq}_{3}: & x & \mapsto & x ( e_L e_R ) & = & x \\
\mathrm{ceq}_{4}: & x & \mapsto & e_L x & = & x e_R \\
\mathrm{ceq}_{5}: & & \mapsto & e_R & = & e_L \\
\mathrm{ceq}_{6}: & x & \mapsto & x e_R & = & e_L x \\
\mathrm{ceq}_{7}: & x & \mapsto & x e_R & = & e_L x \\
\mathrm{ceq}_{8}: & x & \mapsto & x & = & ( e_L x ) e_R \\
\mathrm{ceq}_{9}: & x & \mapsto & x & = & ( e_L e_R ) x \\
\mathrm{ceq}_{10}: & x & \mapsto & x & = & e_L ( x e_R ) \\
\end{cases} が得られます。よって \begin{matrix}
\mathrm{ceq}_{5}: & & \mapsto & e_R & = & e_L \\
\end{matrix} が成り立つことがわかります。この場合は1回で終了するので書き換え規則の合成と同じです。

モノイドの左逆元・右逆元

等式の集合 \begin{cases}
\mathrm{eq}_{1}: & x, y, z & \mapsto & ( x y ) z & = & x ( y z ) \\
\mathrm{eq}_{2}: & x & \mapsto & e x & = & x \\
\mathrm{eq}_{3}: & x & \mapsto & x e & = & x \\
\mathrm{eq}_{4}: & & \mapsto & x_L x & = & e \\
\mathrm{eq}_{5}: & & \mapsto & x x_R & = & e \\
\end{cases} から \begin{cases}
\mathrm{eq}_{1}: & x, y, z & \mapsto & ( x y ) z & = & x ( y z ) \\
\mathrm{eq}_{4}: & & \mapsto & x_L x & = & e \\
\end{cases} を選択して合成すると \begin{cases}
\mathrm{ceq}_{1}: & y, z & \mapsto & ( ( x_L x ) y ) z & = & e ( y z ) \\
\mathrm{ceq}_{2}: & y & \mapsto & ( y x_L ) x & = & y e \\
\mathrm{ceq}_{3}: & y, z & \mapsto & ( y ( x_L x ) ) z & = & y ( e z ) \\
\mathrm{ceq}_{4}: & y, z & \mapsto & ( y z ) ( x_L x ) & = & y ( z e ) \\
\mathrm{ceq}_{5}: & y, z & \mapsto & ( e y ) z & = & ( x_L x ) ( y z ) \\
\mathrm{ceq}_{6}: & y, z & \mapsto & ( y e ) z & = & y ( ( x_L x ) z ) \\
\mathrm{ceq}_{7}: & y, z & \mapsto & ( y z ) e & = & y ( z ( x_L x ) ) \\
\mathrm{ceq}_{8}: & y & \mapsto & x_L ( x y ) & = & e y \\
\mathrm{ceq}_{9}: & y, z & \mapsto & ( x_L x ) ( y z ) & = & ( e y ) z \\
\mathrm{ceq}_{10}: & y, z & \mapsto & y ( ( x_L x ) z ) & = & ( y e ) z \\
\mathrm{ceq}_{11}: & y, z & \mapsto & y ( z ( x_L x ) ) & = & ( y z ) e \\
\mathrm{ceq}_{12}: & y, z & \mapsto & e ( y z ) & = & ( ( x_L x ) y ) z \\
\mathrm{ceq}_{13}: & y, z & \mapsto & y ( e z ) & = & ( y ( x_L x ) ) z \\
\mathrm{ceq}_{14}: & y, z & \mapsto & y ( z e ) & = & ( y z ) ( x_L x ) \\
\end{cases} が得られます。ここから \begin{matrix}
\mathrm{ceq}_{8}: & y & \mapsto & x_L ( x y ) & = & e y \\
\end{matrix} を選択して等式の集合に追加し \begin{matrix}
\mathrm{eq}_{6}: & y & \mapsto & x_L ( x y ) & = & e y \\
\end{matrix} とします。次に等式の集合から \begin{cases}
\mathrm{eq}_{5}: & & \mapsto & x x_R & = & e \\
\mathrm{eq}_{6}: & y & \mapsto & x_L ( x y ) & = & e y \\
\end{cases} を選択して合成すると \begin{cases}
\mathrm{ceq}_{1}: & & \mapsto & x_L ( x ( x x_R ) ) & = & e e \\
\mathrm{ceq}_{2}: & y & \mapsto & ( x x_R ) y & = & x_L ( x y ) \\
\mathrm{ceq}_{3}: & & \mapsto & e ( x x_R ) & = & x_L ( x e ) \\
\mathrm{ceq}_{4}: & & \mapsto & x_L e & = & e x_R \\
\mathrm{ceq}_{5}: & & \mapsto & x_L ( x e ) & = & e ( x x_R ) \\
\mathrm{ceq}_{6}: & & \mapsto & e e & = & x_L ( x ( x x_R ) ) \\
\end{cases} が得られるので \begin{matrix}
\mathrm{ceq}_{4}: & & \mapsto & x_L e & = & e x_R \\
\end{matrix} を等式の集合に追加し \begin{matrix}
\mathrm{eq}_{7}: & & \mapsto & x_L e & = & e x_R \\
\end{matrix} とします。次に等式の集合から \begin{cases}
\mathrm{eq}_{2}: & x & \mapsto & e x & = & x \\
\mathrm{eq}_{7}: & & \mapsto & x_L e & = & e x_R \\
\end{cases} を選択して合成すると \begin{cases}
\mathrm{ceq}_{1}: & & \mapsto & e ( x_L e ) & = & e x_R \\
\mathrm{ceq}_{2}: & & \mapsto & ( e x_L ) e & = & e x_R \\
\mathrm{ceq}_{3}: & & \mapsto & x_L ( e e ) & = & e x_R \\
\mathrm{ceq}_{4}: & & \mapsto & e ( e x_R ) & = & x_L e \\
\mathrm{ceq}_{5}: & & \mapsto & ( e e ) x_R & = & x_L e \\
\mathrm{ceq}_{6}: & & \mapsto & e ( e x_R ) & = & x_L e \\
\mathrm{ceq}_{7}: & & \mapsto & x_L e & = & e ( e x_R ) \\
\mathrm{ceq}_{8}: & & \mapsto & x_R & = & x_L e \\
\mathrm{ceq}_{9}: & & \mapsto & e x_R & = & e ( x_L e ) \\
\end{cases} が得られるので \begin{matrix}
\mathrm{ceq}_{8}: & & \mapsto & x_R & = & x_L e \\
\end{matrix} を等式の集合に追加し \begin{matrix}
\mathrm{eq}_{8}: & & \mapsto & x_R & = & x_L e \\
\end{matrix} とします。次に等式の集合から \begin{cases}
\mathrm{eq}_{3}: & x & \mapsto & x e & = & x \\
\mathrm{eq}_{8}: & & \mapsto & x_R & = & x_L e \\
\end{cases} を選択して合成すると \begin{cases}
\mathrm{ceq}_{1}: & & \mapsto & x_R e & = & x_L e \\
\mathrm{ceq}_{2}: & & \mapsto & ( x_L e ) e & = & x_R \\
\mathrm{ceq}_{3}: & & \mapsto & ( x_L e ) e & = & x_R \\
\mathrm{ceq}_{4}: & & \mapsto & x_L ( e e ) & = & x_R \\
\mathrm{ceq}_{5}: & & \mapsto & x_R & = & ( x_L e ) e \\
\mathrm{ceq}_{6}: & & \mapsto & x_L & = & x_R \\
\mathrm{ceq}_{7}: & & \mapsto & x_L e & = & x_R e \\
\end{cases} が得られます。よって \begin{matrix}
\mathrm{ceq}_{6}: & & \mapsto & x_L & = & x_R \\
\end{matrix} が成り立つことがわかります。