単位元をもつマグマの準同型(1)
を単位元
をもつマグマ、
を単位元
をもつマグマ、
をマグマの準同型とします。このとき
ならば
が成り立ちます。
これを「マグマの左単位元・右単位元」と同様の方法で証明することができます。項を に属する項と
に属する項に分けて、
に属する変数には
に属する項を代入可能、
に属する変数には
に属する項を代入可能とします。
を単項演算と同様ですが
であるものとします。
以下の表記では、 のように「
」がつかないものは
に属するもの、
のように「
」がついたものは
に属するものとします。
[証明] 書き換え規則を \begin{cases}
\rho_{1} & = & ( & x & \mapsto & e x & \to & x & ) \\
\rho_{2} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & e x & ) \\
\rho_{3} & = & ( & x' & \mapsto & x' e' & \to & x' & ) \\
\rho_{4} & = & ( & x' & \mapsto & x' & \to & x' e' & ) \\
\rho_{5} & = & ( & x, y & \mapsto & f(x y) & \to & f(x) f(y) & ) \\
\rho_{6} & = & ( & x, y & \mapsto & f(x) f(y) & \to & f(x y) & ) \\
\rho_{7} & = & ( & & \mapsto & f(x) & \to & e' & ) \\
\rho_{8} & = & ( & & \mapsto & e' & \to & f(x) & ) \\
\end{cases} とします。すると \begin{matrix}
f(e) & \xrightarrow{\rho_{4}} & f(e) e' & \xrightarrow{\rho_{8}} & f(e) f(x) & \xrightarrow{\rho_{6}} & f(e x) & \xrightarrow{\rho_{1}} & f(x) & \xrightarrow{\rho_{7}} & e' \\
\end{matrix} と変形することができて が成り立つことがわかります。[証明終わり]
単位元をもつマグマの準同型(2)
を単位元
をもつマグマ、
を単位元
をもつマグマ、
をマグマの準同型、
とします。このとき
が
の逆元ならば
は
の逆元となります。
[証明] 書き換え規則を \begin{cases}
\rho_{1} & = & ( & & \mapsto & x^{-1} x & \to & e & ) \\
\rho_{2} & = & ( & & \mapsto & e & \to & x^{-1} x & ) \\
\rho_{3} & = & ( & x, y & \mapsto & f(x y) & \to & f(x) f(y) & ) \\
\rho_{4} & = & ( & x, y & \mapsto & f(x) f(y) & \to & f(x y) & ) \\
\rho_{5} & = & ( & & \mapsto & f(e) & \to & e' & ) \\
\rho_{6} & = & ( & & \mapsto & e' & \to & f(e) & ) \\
\end{cases} とすると \begin{matrix}
f(x^{-1}) f(x) & \xrightarrow{\rho_{4}} & f(x^{-1} x) & \xrightarrow{\rho_{1}} & f(e) & \xrightarrow{\rho_{5}} & e' \\
\end{matrix} が得られます。[証明終わり]
単位元をもつマグマの準同型(3)
を単位元
をもつマグマ、
を単位元
をもつマグマ、
をマグマの準同型とします。このとき
が
の逆元、
が
の逆元ならば
となります。
[証明] 書き換え規則を \begin{cases}
\rho_{1} & = & ( & & \mapsto & x^{-1} x & \to & e & ) \\
\rho_{2} & = & ( & & \mapsto & e & \to & x^{-1} x & ) \\
\rho_{3} & = & ( & x, y & \mapsto & f(x y) & \to & f(x) f(y) & ) \\
\rho_{4} & = & ( & x, y & \mapsto & f(x) f(y) & \to & f(x y) & ) \\
\rho_{5} & = & ( & & \mapsto & f(x^{-1}) f(x) & \to & e' & ) \\
\rho_{6} & = & ( & & \mapsto & e' & \to & f(x^{-1}) f(x) & ) \\
\end{cases} とすると \begin{matrix}
f(e) & \xrightarrow{\rho_{2}} & f(x^{-1} x) & \xrightarrow{\rho_{3}} & f(x^{-1}) f(x) & \xrightarrow{\rho_{5}} & e' \\
\end{matrix} が得られます。[証明終わり]
