群の性質
本[1][2]の中で「群の完備化」として、群の定義の一部から出発して完備な書き換え規則を得る手順が書かれています。こちらの私のサイト http://www2.biglobe.ne.jp/~optimist/algebra/word_2.html でもやっているのですが、本では有限回で終了して完備な書き換え規則が自動的に得られるようにできると書かれていますが具体的な方法がわからないので、私のサイトでは自動的にはできません。「群の完備化」については「クヌース・ベンディックス完備化アルゴリズム」でできるということで、これについてはまた後で調査したいと思います。
ここでは「マグマの左単位元・右単位元」と同様の方法で群で成立する関係を求めるということをやります。
集合 に演算 が定義されていて(この演算子は省略して書きます)、 次の3条件が成り立っているとき、 は群であるといいます。
これは、次の条件と同値となります。
- ある の元 が存在して、すべての の元 に対し が成り立つ。
- すべての の元 に対して、 の元 が存在して が成り立つ。
単項・二項マグマ
単項演算 、二項演算 を持つ代数的構造をここでは「単項・二項マグマ」と呼ぶことにします(一般的な名前は不明です)。自由「単項・二項マグマ」について、自由マグマと同様の議論ができます。
次の3個の書き換え規則 \begin{eqnarray*}
e x & \to & x \\
x^{-1} x & \to & e \\
(x y) z & \to & x (y z) \\
\end{eqnarray*} の集合から出発して、以下の書き換え規則の集合を得る方法が本には書かれています。 \begin{eqnarray*}
e x & \to & x \\
x^{-1} x & \to & e \\
(x y) z & \to & x (y z) \\
x^{-1} (x y) & \to & y \\
x e & \to & x \\
(x^{-1})^{-1} & \to & x \\
x x^{-1} & \to & e \\
e^{-1} & \to & e \\
x (x^{-1} y) & \to & y \\
(x y)^{-1} & \to & y^{-1} x^{-1} \\
\end{eqnarray*} この書き換え規則の集合によって任意の式を標準形に変形することができます。
ここでは「マグマの左単位元・右単位元」と同様の方法で自由「単項・二項マグマ」によって関係式を求めていきます。
書き換え規則 \begin{cases}
\rho_{1} & = & ( & x & \mapsto & e x & \to & x & ) \\
\rho_{2} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & e x & ) \\
\rho_{3} & = & ( & x & \mapsto & x^{-1} x & \to & e & ) \\
\rho_{4} & = & ( & x & \mapsto & e & \to & x^{-1} x & ) \\
\rho_{5} & = & ( & x, y, z & \mapsto & (x y) z & \to & x (y z) & ) \\
\rho_{6} & = & ( & x, y, z & \mapsto & x (y z) & \to & (x y) z & ) \\
\end{cases} から \begin{matrix}
e^{-1} x & \xrightarrow{\rho_{2}} & e^{-1} (e x) & \xrightarrow{\rho_{6}} & (e^{-1} e) x & \xrightarrow{\rho_{3}} & e x & \xrightarrow{\rho_{1}} & x \\
\end{matrix} を得ることができます。
\begin{cases}
\rho_{7} & = & ( & x & \mapsto & e^{-1} x & \to & x & ) \\
\rho_{8} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & e^{-1} x & ) \\
\end{cases} を付け加えると \begin{matrix}
(e^{-1})^{-1} x & \xrightarrow{\rho_{8}} & (e^{-1})^{-1} (e^{-1} x) & \xrightarrow{\rho_{6}} & ((e^{-1})^{-1} e^{-1}) x & \xrightarrow{\rho_{3}} & e x & \xrightarrow{\rho_{1}} & x \\
\end{matrix} が得られます。
\begin{cases}
\rho_{9} & = & ( & x & \mapsto & (e^{-1})^{-1} x & \to & x & ) \\
\rho_{10} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & (e^{-1})^{-1} x & ) \\
\end{cases} を付け加えると \begin{matrix}
e^{-1} & \xrightarrow{\rho_{10}} & (e^{-1})^{-1} e^{-1} & \xrightarrow{\rho_{3}} & e \\
\end{matrix} が得られます。
ここではこれでやめますが、これを続けていくと、上記の書き換え規則の集合が得られます。