エレファント・ビジュアライザー調査記録

ビジュアルプログラミングで数式の変形を表すことを考えていくブロクです。

エレファントな群とリー代数(6)

環の性質

「群の性質」で考えた「単項・二項マグマ」に二項演算を付け加えたものを考えます。これをここでは「単項・二項・二項マグマ」と呼ぶことにします。「単項・二項・二項マグマ」について「代入」を考えることで「群の性質」と同様に環で成り立つ関係を求めることができます。

Ring でこの式の変形ができるようになっているのですが、群の場合と違って半自動的にできるようになっていないので、式の変形のやり方がわかっていないとできません。以下で説明します。

環の定義から得られる関係

集合  R に二つの二項演算  x+y (加法)、 xy (乗法)が定義されていて、 次の条件が成り立っているとき、 R は環であるといいます。

  1. 加法に関して可換群である。 すなわち
    1.  (x + y) + z = x + (y + z) (結合法則)(associative law) が成り立つ。
    2.  x + y = y + x (交換法則)(commutative law) が成り立つ。
    3. ある  R の元  0 が存在して、すべての  R の元  x に対し  0 + x = x + 0 = x が成り立つ。 0 R の零元(zero element)という。
    4. すべての  R の元  x に対して、 R の元  y が存在して  y + x = x + y = 0 が成り立つ。  y - x と書く。
  2. 乗法に関して結合法則が成り立つ。すなわち  (xy)z = x(yz) が成り立つ。
  3. 分配法則(distributive law)が成り立つ。すなわち
    1.  x(y + z) = xy + xz
    2.  (x + y)z = xz + yz

 R の乗法に関する単位元を単に単位元と呼びます。単位元 1 と書きます。以下の関係が成り立ちます。

  •  x0 = x(0 + 0) = x0 + x0
  •  x0 = x0 + (x0 + (- x0)) = (x0 + x0) + (- x0) = x0 + (- x0) = 0
  •  0x = (0 + 0)x = 0x + 0x
  •  0x = 0x + (0x + (- 0x)) = (0x + 0x) + (- 0x) = 0x + (- 0x) = 0
  •  x(-y) + xy = x( (-y) + y) = x0 = 0
  •  x(-y) = x(-y) + 0 = x(-y) + (xy + (-xy)) \\ = (x(-y) + xy) + (-xy) = 0 + (-xy) = -xy
  •  (-x)y + xy = ( (-x) + x)y = 0y = 0
  •  (-x)y = (-x)y + 0 = (-x)y + (xy + (-xy)) \\ = ( (-x)y + xy) + (-xy) = 0 + (-xy) = -xy
  •  -(-x) = (-(-x)) + 0 = (-(-x)) + ( (-x) + x) \\ = ( (-(-x)) + (-x) ) + x = 0 + x = x
  •  (-x)(-y) = -(-x)y = -(-xy) = xy
  •  (x + 1)(y + 1) = (x + 1)y + (x + 1)1 = (xy + 1y) + (x1 + 1\cdot 1) \\ = (xy + y) + (x + 1)
  •  (x + 1)(y + 1) + (-1) = ( (xy + y) + (x + 1) ) + (-1) \\ = ( ( (xy + y) + x ) + 1) + (-1) = ( (xy + y) + x ) + (1 + (-1)) \\ = ( (xy + y) + x ) + 0 = (xy + y) + x
  •  (-xy) + ( (x + 1)(y + 1) + (-1) ) = (-xy) + ( (xy + y) + x) \\ = (-xy) + (xy +( y + x)) = ( (-xy) + xy ) +( y + x) \\ = 0 + (y + x) = y + x
  •  (x + 1)(y + 1) = x(y + 1) + 1(y + 1) = (xy + x1) + (1y + 1\cdot 1) \\ = (xy + x) + (y + 1)
  •  (x + 1)(y + 1) + (-1) = ( (xy + x) + (y + 1) ) + (-1) \\ = ( ( (xy + x) + y ) + 1) + (-1) = ( (xy + x) + y ) + (1 + (-1)) \\ = ( (xy + x) + y ) + 0 = (xy + x) + y
  •  (-xy) + ( (x + 1)(y + 1) + (-1) ) = (-xy) + ( (xy + x) + y) \\ = (-xy) + (xy +( x + y)) = ( (-xy) + xy ) +( x + y) \\ = 0 + (x + y) = x + y
  •  x + y = (-xy) + ( (x + 1)(y + 1) + (-1) ) = y + x
  •  x = 1x = 0x = 0

これは長くてわかりにくいので、加法の結合法則  (x + y) + z = x + (y + z) が成り立つことを考慮して  (x + y) + z = x + (y + z) x + y + z と書くことにして書き直すと

  •  x0 = x(0 + 0) = x0 + x0
  •  x0 = x0 + x0 + (- x0) = x0 + (- x0) = 0
  •  0x = (0 + 0)x = 0x + 0x
  •  0x = 0x + 0x + (- 0x) = 0x + (- 0x) = 0
  •  x(-y) + xy = x( (-y) + y) = x0 = 0
  •  x(-y) = x(-y) + 0 = x(-y) + xy + (-xy) = 0 + (-xy) = -xy
  •  (-x)y + xy = ( (-x) + x)y = 0y = 0
  •  (-x)y = (-x)y + 0 = (-x)y + xy + (-xy) = 0 + (-xy) = -xy
  •  -(-x) = (-(-x)) + 0 = (-(-x)) + (-x) + x = 0 + x = x
  •  (-x)(-y) = -(-x)y = -(-xy) = xy
  •  (x + 1)(y + 1) = (x + 1)y + (x + 1)1 = xy + 1y + x1 + 1\cdot 1 = xy + y + x + 1
  •  (x + 1)(y + 1) + (-1) = xy + y + x + 1 + (-1) = xy + y + x + 0 = xy + y + x
  •  (-xy) + (x + 1)(y + 1) + (-1) = (-xy) + xy + y + x = 0 + y + x = y + x
  •  (x + 1)(y + 1) = x(y + 1) + 1(y + 1) = xy + x1 + 1y + 1\cdot 1 = xy + x + y + 1
  •  (x + 1)(y + 1) + (-1) = xy + x + y + 1 + (-1) = xy + x + y + 0 = xy + x + y
  •  (-xy) + (x + 1)(y + 1) + (-1) = (-xy) + xy + x + y = 0 + x + y = x + y
  •  x + y = (-xy) + (x + 1)(y + 1) + (-1) = y + x
  •  x = 1x = 0x = 0

となります。よって

  • 環の定義(加法の交換法則を除く)から、 x0 = 0x = 0 x(-y) = (-x)y = -xy (-x)(-y) = xy が成り立ちます。
  • 環の定義(加法の交換法則を除く)と単位元の存在から、 x + y = y + x が成り立ちます。
  • 環の定義(加法の交換法則を除く)と単位元の存在から、 1 = 0 ならば任意の  x \in R に対して  x = 0 が成り立ちます。
「単項・二項・二項マグマ」の「代入」による方法

「単項・二項・二項マグマ」の「代入」による式の変形によってこの関係を求めることができます。\begin{cases}
\rho_{1} & = & ( & x & \mapsto & 0 + x & \to & x & ) \\
\rho_{2} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & 0 + x & ) \\
\rho_{3} & = & ( & x & \mapsto & x + 0 & \to & x & ) \\
\rho_{4} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & x + 0 & ) \\
\rho_{5} & = & ( & x & \mapsto & (-x) + x & \to & 0 & ) \\
\rho_{6} & = & ( & x & \mapsto & 0 & \to & (-x) + x & ) \\
\rho_{7} & = & ( & x & \mapsto & x + (-x) & \to & 0 & ) \\
\rho_{8} & = & ( & x & \mapsto & 0 & \to & x + (-x) & ) \\
\rho_{9} & = & ( & x, y, z & \mapsto & (x + y) + z & \to & x + (y + z) & ) \\
\rho_{10} & = & ( & x, y, z & \mapsto & x + (y + z) & \to & (x + y) + z & ) \\
\rho_{11} & = & ( & x, y, z & \mapsto & (x y) z & \to & x (y z) & ) \\
\rho_{12} & = & ( & x, y, z & \mapsto & x (y z) & \to & (x y) z & ) \\
\rho_{13} & = & ( & y, x, z & \mapsto & x (y + z) & \to & x y + x z & ) \\
\rho_{14} & = & ( & x, y, z & \mapsto & x y + x z & \to & x (y + z) & ) \\
\rho_{15} & = & ( & x, y, z & \mapsto & (x + y) z & \to & x z + y z & ) \\
\rho_{16} & = & ( & x, y, z & \mapsto & x z + y z & \to & (x + y) z & ) \\
\end{cases} から \begin{matrix}
x 0 & \xrightarrow{\rho_{4}} & x 0 + 0 & \xrightarrow{\rho_{8}} & x 0 + ( x_{8,2} + ( -x_{8,2} ) ) \\ & \xrightarrow{\rho_{10}} & ( x 0 + y_{10,3} ) + ( -y_{10,3} ) & \xrightarrow{\rho_{14}} & x ( 0 + z_{14,4} ) + ( -x z_{14,4} ) \\ & \xrightarrow{\rho_{1}} & x x_{1,5} + ( -x x_{1,5} ) & \xrightarrow{\rho_{7}} & 0 \\
0 x & \xrightarrow{\rho_{4}} & 0 x + 0 & \xrightarrow{\rho_{8}} & 0 x + ( x_{8,2} + ( -x_{8,2} ) ) \\ & \xrightarrow{\rho_{10}} & ( 0 x + y_{10,3} ) + ( -y_{10,3} ) & \xrightarrow{\rho_{16}} & ( 0 + y_{16,4} ) x + ( -y_{16,4} x ) \\ & \xrightarrow{\rho_{1}} & x_{1,5} x + ( -x_{1,5} x ) & \xrightarrow{\rho_{7}} & 0 \\
\end{matrix} が得られます。この続きは次回以降で説明したいと思います。