一般マグマの多項式の完備化 環の演算では書き換え規則の合成を行っているので、今までの議論で説明できるのですが、その説明では長くなるのでいったん 群の完備化の説明をしたいと思います。群の完備化ではクヌース・ベンディックス完備化アルゴリズム - Wi…

一般マグマの多項式の等式の合成(2) 続いて単位元をもつマグマの準同型についても見ていきます。 単位元をもつマグマの準同型(1) 第1段階 等式の集合 \begin{cases} \mathrm{eq}_{1}: & x & \mapsto & e x & = & x \\ \mathrm{eq}_{2}: & x & \mapsto & x e'…

一般マグマの多項式の等式の合成(1) 書き換え規則 に対して、 とします。 を等式と考えます。これを と書くことにします。書き換え規則の合成を等式の合成に書き直すことができます。書き換え規則 、 に対して書き換え規則の集合の合成 を考えると、 となり…

一般マグマの多項式の書き換え規則の合成(2) 前回の説明で間違っているところがあったので訂正します。書き換え規則 に対して、 の部分項の位置 の部分項を 、 の部分項の位置 の部分項を とします。 の部分項の位置全体の集合を 、 の部分項の位置全体の集…

一般マグマの多項式の書き換え規則の合成 「環の演算」(これはスマートフォンで使えるように以前のものを少し書き直しました)での式の合成の説明をする準備ができました。これを説明する前に、まず書き換え規則の合成について考えます。ある代数的構造を等式…

一般マグマの多項式の単一化アルゴリズム(3) 前回の議論(「wikipedia:ユニフィケーション」の「一階の項」を参照)を『計算論理に基づく推論ソフトウェア論』の議論のように2段階に分けます。なお、前回の記事でも単一化アルゴリズムの中で項を変化させる場合…

一般マグマの多項式の単一化アルゴリズム(2) この項目の内容は「一階の項」の理論と内容は同じものになると思われます。書き方を変えることで極限や普遍性について考えるときに多項式の考え方が使えると思うのですが、今のところどうなるかわかりません。前…

一般マグマの多項式の単一化 環(および自然数の演算)(日本語が正しく表示されない可能性がありますがいつか書き直します)の使い方を説明すると書きましたが、ここで行っている「規則の合成」を説明するには単一化(ユニフィケーション)について説明する必要が…

環の性質(2) 任意の 項演算を任意の個数もつ代数的構造に対しても「±マグマ」と同様の議論が成り立ちます。これを「一般マグマ」と呼ぶことにします。「一般マグマ」によって環の性質を証明することができます。前回の続きを書いていきます。\begin{cases} \…

±マグマ 集合 が二項演算 と単項演算 を持つとき を±マグマと呼ぶことにします。「単項・二項マグマ」と呼んでいましたが長いのでこう呼ぶことにします。ここでは、マグマに関する議論に演算を付け加えたものをまとめて説明していきます。この議論に関する一…

環の性質 「群の性質」で考えた「単項・二項マグマ」に二項演算を付け加えたものを考えます。これをここでは「単項・二項・二項マグマ」と呼ぶことにします。「単項・二項・二項マグマ」について「代入」を考えることで「群の性質」と同様に環で成り立つ関係…

群の性質(2) 今回は群の性質の続きを調べていきます。 前回の結果 「エレファントな群とリー代数(3)」では書き換え規則の集合 \begin{cases} \rho_{1} & = & ( & x & \mapsto & e x & \to & x & ) \\ \rho_{2} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & e x & ) \\…

単位元をもつマグマの準同型(1) を単位元 をもつマグマ、 を単位元 をもつマグマ、 をマグマの準同型とします。このとき ならば が成り立ちます。これを「マグマの左単位元・右単位元」と同様の方法で証明することができます。項を に属する項と に属する項…

群の性質 本[1][2]の中で「群の完備化」として、群の定義の一部から出発して完備な書き換え規則を得る手順が書かれています。こちらの私のサイト http://www2.biglobe.ne.jp/~optimist/algebra/word_2.html でもやっているのですが、本では有限回で終了して…

モノイドの左逆元・右逆元 をモノイド( は単位元)とします。 (L) に対して、 であるような を の左逆元と呼びます。 (R) に対して、 であるような を の右逆元と呼びます。 が左逆元 と右逆元 を持つならば、 となります。 [証明] (L)より (R)より よって結…

ここでは「項書き換え」のような方法で群、モノイド、半環やリー代数に関する証明を行ってみます。「項書き換え」については[1][2]の本を持っていたのですが見当たらないので、ウェブに同様の記事があったのでそれを参考にします。本来の「項書き換え」では…