「平方剰余の相互法則 ガウスの全証明」IV、「数論への出発 増補版」に従って証明します。
【ガウスの和の定義】
をの原始 乗根とします。整数 に対して
、
と定義します。
【定理1】
- (a)
- (b)
[証明]
(a)
- のとき
を の生成元とします。もし だとすると、 となります。 となり、 は生成元とはなりません。よって となります。
だから
よって 、 となります。 より右辺も となります。
- ではないとき
となります。
(b)
- のとき
- ではないとき
とおき、
より
よって
右辺の は 、 の範囲を動き、かつ のときだけの和となります。よって として の範囲を動く和となりますが、 なので の範囲の和となります。
…(1)
一方(a)より
…(2)
(1)(2)より
[証明終わり]