「平方剰余の相互法則 ガウスの全証明」IV、「数論への出発 増補版」に従って証明します。
【ガウスの和の定義】
を
の原始
乗根とします。整数
に対して
、
と定義します。
【定理1】
- (a)
- (b)
[証明]
(a)
のとき
を
の生成元とします。もし
だとすると、
となります。
となり、
は生成元とはなりません。よって
となります。
だから
よって 、
となります。
より右辺も
となります。
ではないとき
となります。
(b)
のとき
ではないとき
とおき、
より
よって
右辺の は
、
の範囲を動き、かつ
のときだけの和となります。よって
として
の範囲を動く和となりますが、
なので
の範囲の和となります。
…(1)
一方(a)より
…(2)
(1)(2)より
[証明終わり]