指数関数(2) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

直接やり方を書いたらできるのかどうかをやってみます。『手を動かしてまなぶ ε-δ論法』に従って以下のように入力してみます。

連続の公理(上に有界な単調増加数列は収束する)から、任意の実数 $a > 1$ と任意の実数 $x$ に対して、 $a |x| < k$ を満たす自然数 $k$ が存在することを証明してください

これはあまりちゃんとした証明にはなりませんでした。

連続の公理(上に有界な単調増加数列は収束する)から、アルキメデスの原理(任意の正の実数 $a$ 、 $b$ に対して、ある自然数 $n$ が存在して $na > b$ を満たす)を証明してください

これは少しおかしいところがありますが流れは合っています。

アルキメデスの原理から、任意の実数 $a > 1$ と任意の実数 $x$ に対して、 $a |x| < k$ を満たす自然数 $k$ が存在することを証明してください

これは少し変なところがあります。これを以下のように指摘しました。

アルキメデスの原理を $1$ と $b$ に適用すると、ある自然数 $n$ が存在して $n > b$ を満たします。この議論を取り入れて証明を書き直してください

これは間違っているところがありますが流れは合っています。

次に、前回の議論を直接指摘することにします。前回の議論で余計な部分があったので書き直します。自然数 $k$ を $a |x| < k$ を満たす自然数とすると $k > 0$ となります。よって
$n < k$ のとき
$\displaystyle \frac{(a|x|)^n}{n!} < \frac{\max{\{1,(a|x|)^k\}}}{1} < k^k$
$n \ge k$ のとき
$\displaystyle \frac{(a|x|)^n}{n!} = \frac{(a|x|)^k}{k!} \left( \frac{a|x|}{k+1} \cdot \frac{a|x|}{k+2} \cdots \frac{a|x|}{n} \right) < \frac{k^k}{1} \cdot 1 = k^k$
であるから $M = k^k$ とおくと
$\displaystyle \left| \frac{x^n}{n!} \right| = \frac{(a|x|)^n}{n!} \cdot \frac{1}{a^n} < \frac{M}{a^n}$
が成り立ちます。

以下のように入力しました。

任意の実数 $a > 1$ と任意の実数 $x$ に対して、 $a |x| < k$ を満たす自然数 $k$ が存在します。このとき $M = k^k$ とおくと、任意の自然数 $n$ に対して $\left| \frac{x^n}{n!} \right| < \frac{M}{a^n}$ が成り立つことを証明してください

これはうまくいきませんでした。以下は引用です。

与えられた条件 $|x| < k$ から、 $M = k^k$ とおくと、次のように証明します。
まず、 $a |x| < k$ を満たす自然数 $k$ が存在するという条件より、任意の自然数 $n$ に対して、 $a^n |x|^n < k^n$ が成り立ちます。
次に、 $M = k^k$ とおくと、 $k^n$ は $M$ よりも大きいので、 $a^n |x|^n < k^n < M$ です。
さらに、 $n!$ は $n$ が大きくなるにつれて急速に増加するので、 $n!$ で割ることにより不等式の右辺が小さくなります。
したがって、 $\left| \frac{x^n}{n!} \right| < \frac{M}{a^n}$ が成り立ちます。
これにより、任意の実数 $a > 1$ と任意の実数 $x$ に対して、 $a |x| < k$ を満たす自然数 $k$ が存在する場合、 $M = k^k$ とおくと、任意の自然数 $n$ に対して $\left| \frac{x^n}{n!} \right| < \frac{M}{a^n}$ が成り立つことが示されました。