群論の計算(24)

複素数(4)

実数体 $\mathbb{R}$ 上の多項式 $f = X^2 + 1 \in \mathbb{R} [X]$ が $\mathbb{R}$ 上既約ではないとすると、
$f = gh$ 、 $g \ne 0$ 、 $\deg g \le 1$ 、 $h \ne 0$ 、 $\deg h \le 1$ を満たす $g, h \in \mathbb{R} [X]$ が
存在します。 $\deg g + \deg h = \deg f = 2$ より $\deg g = \deg h = 1$ となります。 $g = X - a \ (a \in \mathbb{R})$ と表すことができます。 $f = (X - a)h$ となります。 $a^2 + 1 = f(a) = 0$ となりますが、 $a^2 \ge 0$ なのでこのような $a$ は存在しません。よって $f$ は $\mathbb{R}$ 上既約となります。

$\mathbb{C} = \mathbb{R} / (f)$ とおくと $\mathbb{C}$ は体となります。 $\mathbb{C}$ の元を複素数と呼びます。 $\alpha^2 + 1 = 0$ となる $\alpha \in \mathbb{C}$ が存在します。その1つを $i$ と表します。このときこのような元はもう1つ存在してそれは $-i$ となります。

$\mathbb{C}$ は $\mathbb{R}$ 上の代数となります。 $f$ が最小多項式となるので $\mathbb{C}$ は $\mathbb{R}$ 上 $2$ 次元となります。 $\mathbb{C}$ の演算は $\mathbb{R}$ 上 $2$ 次元のベクトル空間に演算を定義したものと同じものとなります。 $\mathbb{R}$ 上の代数の同型で $i$ を $-i$ に、 $-i$ を $i$ に写すものが存在します。 $i$ と $-i$ は $X^4 = 1$ の根となっています。