エレファント・コンピューティング調査報告

極限に関する順序を論理プログラミングの手法を使って指定することを目指すブロクです。

群論の計算(24)

複素数(4)

実数体  \mathbb{R} 上の多項式  f = X^2 + 1 \in \mathbb{R} [X]  \mathbb{R} 上既約ではないとすると、
 f = gh g \ne 0 \deg g \le 1 h \ne 0 \deg h \le 1 を満たす  g, h \in \mathbb{R} [X]
存在します。 \deg g + \deg h = \deg f = 2 より  \deg g = \deg h = 1 となります。  g = X - a \ (a \in \mathbb{R}) と表すことができます。 f = (X - a)h となります。 a^2 + 1 = f(a) = 0 となりますが、 a^2 \ge 0 なのでこのような  a は存在しません。よって  f \mathbb{R} 上既約となります。

 \mathbb{C} = \mathbb{R} / (f) とおくと  \mathbb{C} は体となります。 \mathbb{C}の元を複素数と呼びます。 \alpha^2 + 1 = 0 となる  \alpha \in \mathbb{C} が存在します。その1つを  i と表します。このときこのような元はもう1つ存在してそれは  -i となります。

 \mathbb{C} \mathbb{R} 上の代数となります。 f が最小多項式となるので  \mathbb{C} \mathbb{R} 2 次元となります。 \mathbb{C} の演算は  \mathbb{R} 2 次元のベクトル空間に演算を定義したものと同じものとなります。 \mathbb{R} 上の代数の同型で  i -i に、 -i i に写すものが存在します。 i -i X^4 = 1 の根となっています。

代数学の基本定理(1)

 f \in \mathbb{C}[X] が定数でないならば  f \mathbb{C} 内に少なくとも1つの解を持ちます。

この定理は前に証明しました。この結果と体の代数拡大の議論から以下の定理が成り立ちます。

代数学の基本定理(2)

 f \in \mathbb{C}[X] が定数でないならば  f \mathbb{C} 内で一次式の積に分解されます。

代数学の基本定理(3)

 \mathbb{C}代数的閉体となります。