群論の計算(23) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

体の代数拡大(2)

$\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n \in K$ ( $n \ge 1$ ) に対して部分環 $k [ \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n ]$ の商体を $K$ 内で考え $k ( \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n )$ と表します。 $k ( \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n )$ は $K$ の部分体となります。

$n \ge 2$ のとき

$k [ \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n ] = k [ \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_{n-1} ] [ \alpha_n ]$
$k ( \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n ) = k ( \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_{n-1} ) ( \alpha_n )$

となります。

$K/k$ を体の拡大とします。任意の $\alpha \in K$ が $k$ 上代数的であるとき、体拡大 $K/k$ は代数的であると言いいます。

$K/k$ を体の拡大とします。 $[ K : k ] \lt \infty$ ならば $K/k$ は代数的となります。

[証明] $n = [ K : k ]$ とおきます。 $\alpha \in K$ をとると $\{ 1, \alpha, \alpha^2, \cdots , \alpha^n \}$ は $k$ 上1次従属となります。よって $\alpha$ は $k$ 上代数的となります。[証明終わり]

これを繰り返すと以下のことが成り立ちます。

$\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n \in K$ とします。すべての $\alpha_i$ が $k$ 上代数的であるならば環 $k [ \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n ]$ は体となり $[ k [ \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n ] : k ] \lt \infty$ となります。 $k ( \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n ) = k [ \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n ]$ となって体拡大 $k ( \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n ) / k$ は代数的となります。

$L/K$ 、 $K/k$ を体の拡大とします。 $L/k$ が代数的であることは、 $L/K$ 、 $K/k$ が代数的であることの必要十分条件となります。

[証明] $L/K$ 、 $K/k$ が代数的であるとします。 $\alpha \in L$ をとると $L/K$ が代数的であることから $a_0, a_1, \cdots , a_n \in K$ が存在して $a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_n \alpha^n = 0$ となります。 $K/k$ が代数的であるから $E = k [ a_0, a_1, \cdots , a_n ]$ は体となります。 $\alpha$ は $E$ 上代数的であるから $E(\alpha)$ は体となって $[ E(\alpha) : E ] \lt \infty$ となります。 $[ E : k ] \lt \infty$ なので $[ E(\alpha) : k ] = [ E(\alpha) : E ] [ E : k ] \lt \infty$ となり $\alpha$ は $k$ 上代数的となります。

$L/k$ が代数的であるとすると $a \in K$ は $a \in K \subseteq L$ であるから $a$ は $k$ 上代数的となり $K/k$ は代数的となります。また $b \in L$ が $k$ 上代数的であるならば $k \subseteq K$ より $K$ 上代数的であるので $L/K$ は代数的となります。[証明終わり]

$k$ を体とします。 $k$ が自明ではない代数拡大を持たないとき $k$ を代数的閉体と呼びます。すなわち $K/k$ が体の代数拡大ならば $K = k$ となるとき $k$ を代数的閉体と呼びます。

$k$ を体とします。次は同値となります。

$k$ は代数的閉体である。
$f \in k[X]$ が定数でないならば $f$ は $k$ 内で一次式の積に分解する。
$f \in k[X]$ が定数でないならば $f$ は $k$ 内に少なくとも1つの解を持つ。

[証明] ( $1 \implies 3$ ) $k$ を代数的閉体とし $f \in k[X]$ は定数でないとします。 $k[X]$ は一意分解整域となるので $f$ の因子である既約多項式 $g \in k[X]$ が存在します。 $K = k[X]/(g)$ は体で $K/k$ は代数的であるので $K = k$ となります。 $\deg g = 1$ となって $g = ax + b$ と書けます( $a, b \in k, a \ne 0$ )。 $-\frac{b}{a} \in k$ は $f$ の解となります。

( $3 \implies 2$ ) 3を仮定して $f \in k[X]$ は定数でないとします。 $\deg f$ に関する帰納法により証明します。 $\deg f = 1$ のときは成り立っています。次数が $\deg f - 1$ では成り立っていると仮定します。3より $f$ の解 $a \in k$ が存在します。 $f$ を $X - a$ で割った余りは $f(a) = 0$ となります。よって $f = (X - a)g$ となる $g \in k[X]$ が存在します。帰納法の仮定より $g$ は一次式の積に分解されます。よって $f$ も一次式の積に分解されます。

( $2 \implies 1$ ) 2を仮定して $K/k$ を代数拡大とします。 $a \in K$ をとると $f(a) = 0$ となる $f \in k[X]$ が存在します。2より $f = b(X-c_1)(X-c_2) \cdots (X-c_n)$ と表すことができます( $b \ne 0$ 、 $b, c_1, c_2, \cdots , c_n \in k$ )。 $a = c_i$ となる $c_i$ が存在しないとすると $f(a) = b(a-c_1)(a-c_2) \cdots (a-c_n) \ne 0$ となります。 $f(a) = 0$ なのでそうなることはありません。よって $c_i$ が存在して $a = c_i \in k$ となります。[証明終わり]