半群の右単位元と左単位元(1) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

ここではこのブログで書いたことや検討中のことをChatGPTでやってみたらどうなるかを調べることにします。もし簡単にできるようならブログを書く意味がなくなるので、やってみた方が良いと考えました。とりあえずいろいろやってみたところ、簡単にはできませんでした。しかしこれは入力が良くないのかもしれず、今はできないだけなのかもしれません。最近は入力のやり方や、何ができるのかなどが書かれた本も出ているので、少し読んでみましたが、わかりませんでした。今はまだわからないのかもしれません。証明は簡単なものであればできました。プログラムの作成はもう少し複雑なものもできました。今はビジュアルプログラミングを使う方法を調べているので、プログラムの作成を中心にやってみることにします。

まず、次の問題をやってみます。証明ができるときに証明を出力するプログラムを作成することが目標です。

入力に数式を指定するには LaTeX の形式で書けば良いようです。答えを LaTeX で出力してもらうには「LaTeX の形式で書き直してください」と指定すれば良いようです。

半群の右単位元と左単位元は一致することを証明してください

これは証明が間違っています。やや曖昧な表現ですが、そこは大丈夫なようです。

証明の後半で「任意の元 $a$ について、 $a \cdot e_r = a$ 」と「任意の元 $b$ について、 $e_l \cdot b = b$ 」が成り立っています。この二つの式を一致させるためには $a = e_l$ 、 $b = e_r$ とすれば良いです。すると $e_l = e_l \cdot e_r = e_r$ となり $e_l = e_r$ が成り立ちます。証明の後半をこのように変更してください

これも証明が間違っています。

右単位元の定義より $e_l = e_l \cdot e_r$ となります。このように変更してください

これは全体を書き直してくれませんでした。しかしこの部分だけは正しいようです。

証明の全体を書き直してください

これも全体ではありませんでした。

「任意の元 $a$ について、 $a \cdot e_r = a$ 」と「任意の元 $b$ について、 $e_l \cdot b = b$ 」が成り立っています。この二つの式を一致させるためには $a = e_l$ 、 $b = e_r$ とすれば良いという議論を追加して証明の全体を書き直してください

もう一度同じような指摘をすると、同じような答えとなりました。

この証明では $e_r = a$ となる理由が書かれていません。この理由を追加して書き直してください

これも証明が間違っています。

LaTeX の形式で書き直してください

結果をこのブログの形式に直すと以下のようになります。

半群 $(S, \cdot)$ の右単位元を $e_r$ 、左単位元を $e_l$ とする。
まず、右単位元 $e_r$ の定義により、任意の $a \in S$ に対して $a \cdot e_r = a$ が成り立つ。
次に、左単位元 $e_l$ の定義により、任意の $b \in S$ に対して $e_l \cdot b = b$ が成り立つ。
これらの式を一致させるためには、 $a = e_l$ および $b = e_r$ とすることができる。したがって、
$e_l \cdot e_r = e_l \cdot b = b = e_r$
$e_r = a = e_l$
従って、 $e_l = e_r$ が成り立つ。
これにより、半群の右単位元と左単位元が一致することが示された。

半群の構文解析をするプログラムを C# で書いてください

これはデータとして整数を扱うようになっていたのでやりたいことではありません。

半群の基本的な要素は文字列とし、結果は構文木を返すように書き直してください

これはまずまずですかかっこが使えません。

かっこが使えるように書き直してください

これはまずまずです。

半群の構文木を使って「任意の元 a について、a * e_r = a」と「任意の元 b について、e_l * b = b」という式を表し、この二つの式が一致するかどうかを調べるプログラムを C# で書いてください

これは「任意の」と書いているのにそうなっていません。

「任意の元 a について、a * e_r = a」の a や「任意の元 b について、e_l * b = b」の b のように「任意の」がついているものを変数と呼ぶことにします。通常の文字列の場合は定数と呼ぶことにします。CheckExpressionEqualityでは変数の場合は任意の式と一致するとし、定数の場合は文字列が一致するとき一致するとします。このような処理を付け加えて「任意の元 a について、a * e_r = a」と「任意の元 b について、e_l * b = b」の二つの式が一致するかどうかを調べるプログラムを C# で書いてください

これは変数が a と b だけになっています。

たとえば文字列の先頭の文字が「*」のとき変数とするとか、先頭の文字が大文字のとき変数とするなどの方法で、任意の文字列を変数として指定できるようにしてください

これも間違っていますがまずまずです。

using System;

class Program
{
    static void Main(string[] args)
    {
        // 式を定義
        string expression1 = "*a * e_r = a";
        string expression2 = "e_l * b = b";

        // 式の一致をチェック
        bool expressionsMatch = CheckExpressionEquality(expression1, expression2);
        
        // 結果を出力
        Console.WriteLine("Expressions Match: " + expressionsMatch);
    }

    // 式が一致するかどうかをチェックするメソッド
    static bool CheckExpressionEquality(string expression1, string expression2)
    {
        // 文字列が等しい場合、一致
        if (expression1 == expression2)
            return true;

        // 両方の式をトークンに分割
        string[] tokens1 = expression1.Split();
        string[] tokens2 = expression2.Split();

        // トークンごとに比較
        if (tokens1.Length == tokens2.Length)
        {
            for (int i = 0; i < tokens1.Length; i++)
            {
                if (!AreTokensEqual(tokens1[i], tokens2[i]))
                    return false;
            }
            return true;
        }

        return false;
    }

    // トークンが等しいかどうかをチェックするメソッド
    static bool AreTokensEqual(string token1, string token2)
    {
        // 先頭の文字が「*」または大文字の場合、変数として扱う
        bool isVariable1 = token1.StartsWith("*") || char.IsUpper(token1[0]);
        bool isVariable2 = token2.StartsWith("*") || char.IsUpper(token2[0]);

        // トークンの種類に応じて比較
        if (isVariable1 && isVariable2)
        {
            // どちらも変数の場合は一致
            return true;
        }
        else if (!isVariable1 && !isVariable2)
        {
            // どちらも定数の場合は文字列が一致すれば一致
            return token1 == token2;
        }
        else
        {
            // それ以外の場合は一致しない
            return false;
        }
    }
}