とおいて書き直します。
を可換モノイドとします。
は簡約可能とします。
は順序をもちます。
積は順序を保存します。
は最小元となります。
このような代数的構造の名前は何かありそうですが、調べてみましたが見つからないのでこのまま進めます。
とおき、 の元を素元と呼びます。
とおき、 の元を既約元と呼びます。
[証明]
[証明終わり]
が生成する の部分モノイドを 、 が生成する の部分モノイドを とおきます。
[証明] とすると
となる が存在します。
よりある一つの 以外は となります。
よって となって となります。
より となります。[証明終わり]
任意の自然数 に対して が定義されて任意の自然数 に対して であるとき、元の列 を の無限下降列と呼びます。 の無限下降列の全体を とします。
[証明] とし をとります。
の無限下降列 で であるものを以下のように帰納的に定義することができます。
とおきます。
に対して であるから 、、 となる が存在します。 ならば となりますが なので または となります。よってこのどちらかをとれば となる をとることができます。これを とおくと となります。なぜなら のときを考えると、 とすると となって に反するので となるので、 となるためです。
よって となります。[証明終わり]