多重集合・自由可換モノイド(3) - エレファント・コンピューティング調査報告

$M = \overline{R} \setminus \overline{0}$ とおいて書き直します。

$M$ を可換モノイドとします。

$(xy)z = x(yz) \ (\forall x, y, z \in M)$
$1x = x \ (\forall x \in M)$
$xy = yx \ (\forall x, y \in M)$

$M$ は簡約可能とします。

$xz = yz \implies x = y \ (\forall x, y, z \in M)$

$M$ は順序をもちます。

$x \le x \ (\forall x \in M)$
$x \le y \land y \le z \implies x \le z \ (\forall x, y, z \in M)$
$x \le y \land y \le x \implies x = y \ (\forall x, y \in M)$

積は順序を保存します。

$x \le y \implies xz \le yz \ (\forall x, y, z \in M)$

$1$ は最小元となります。

$1 \le x \ (\forall x \in M)$

このような代数的構造の名前は何かありそうですが、調べてみましたが見つからないのでこのまま進めます。

$\mathrm{Pr}(M) = \{ p \in M \mid p \le xy \implies p \le x \lor p \le y \ (\forall x, y \in M) \}$
とおき、 $\mathrm{Pr}(M)$ の元を素元と呼びます。
$\mathrm{Ir}(M) = \{ p \in M \mid p = xy \implies x = 1 \lor y = 1 \ (\forall x, y \in M) \}$
とおき、 $\mathrm{Ir}(M)$ の元を既約元と呼びます。

$\mathrm{Pr}(M) \subseteq \mathrm{Ir}(M)$

[証明]
$\begin{eqnarray*} p \in \mathrm{Pr}(M) & \iff & \bigl[ \ p \le xy \implies p \le x \lor p \le y \ (\forall x, y \in M) \ \bigr] \\ & \implies & \bigl[ \ p = xy \implies xy \le x \lor xy \le y \ (\forall x, y \in M) \ \bigr] \\ & \iff & \bigl[ \ p = xy \implies y = 1 \lor x = 1 \ (\forall x, y \in M) \ \bigr] \\ & \iff & p \in \mathrm{Ir}(M) \end{eqnarray*}$
[証明終わり]

$\mathrm{Pr}(M)$ が生成する $M$ の部分モノイドを $\mathrm{Pr}(M)^*$ 、 $\mathrm{Ir}(M)$ が生成する $M$ の部分モノイドを $\mathrm{Ir}(M)^*$ とおきます。

$M = \mathrm{Pr}(M)^* \implies \mathrm{Pr}(M) = \mathrm{Ir}(M)$

[証明] $p \in \mathrm{Ir}(M) = \mathrm{Pr}(M)^* \cap \mathrm{Ir}(M)$ とすると

$p = q_1 \cdots q_n$ となる $q_i \in \mathrm{Pr}(M)$ が存在します。

$p \in \mathrm{Ir}(M)$ よりある一つの $q_i$ 以外は $1$ となります。

よって $p = q_i \in \mathrm{Pr}(M)$ となって $\mathrm{Ir}(M) \subseteq \mathrm{Pr}(M)$ となります。

$\mathrm{Pr}(M) \subseteq \mathrm{Ir}(M)$ より $\mathrm{Pr}(M) = \mathrm{Ir}(M)$ となります。[証明終わり]

任意の自然数 $n$ に対して $a_n \in M$ が定義されて任意の自然数 $n$ に対して $a_n \gneq a_{n+1}$ であるとき、元の列 $\{a_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ を $M$ の無限下降列と呼びます。 $M$ の無限下降列の全体を $\mathrm{Desc}(M)$ とします。

$\mathrm{Desc}(M) = \varnothing \implies M = \mathrm{Ir}(M)^*$

[証明] $M \supsetneq \mathrm{Ir}(M)^*$ とし $a \in M \setminus \mathrm{Ir}(M)^*$ をとります。

$M$ の無限下降列 $\{a_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ で $a_n \in M \setminus \mathrm{Ir}(M)^*$ であるものを以下のように帰納的に定義することができます。

$a_0 = a$ とおきます。

$a_n \in M \setminus \mathrm{Ir}(M)^*$ に対して $a_n \notin \mathrm{Ir}(M)$ であるから $a_n = bc$ 、 $b \ne 1$ 、 $c \ne 1$ となる $b, c \in M$ が存在します。 $b, c \in \mathrm{Ir}(M)^*$ ならば $a_n \in \mathrm{Ir}(M)^*$ となりますが $a_n \notin \mathrm{Ir}(M)^*$ なので $b \notin \mathrm{Ir}(M)^*$ または $c \notin \mathrm{Ir}(M)^*$ となります。よってこのどちらかをとれば $a_{n+1} \notin \mathrm{Ir}(M)^*$ となる $a_{n+1}$ をとることができます。これを $a_{n+1}$ とおくと $a_n \gneq a_{n+1}$ となります。なぜなら $a_{n+1} = b$ のときを考えると、 $b = bc$ とすると $1 = c$ となって $c \ne 1$ に反するので $b \ne bc$ となるので、 $a_{n+1} = b \lneq bc = a_n$ となるためです。