ビジュアルプログラミング(19) - エレファント・コンピューティング調査報告

プログラム電卓(Blockly)(7)

「プログラム電卓(Blockly)」の説明の続きです。各領域の番号は「ビジュアルプログラミング(14) - エレファント・コンピューティング調査報告」を参照してください。

「平方根」の使い方

(11)のリストから「平方根」を選択すると(12)の領域にサンプルのテキスト(JSON)が表示されます。その後(10)のボタンを押すと(2)の領域に「平方根」のサンプルが表示されます。

ボタン1 : (4)の領域の $x$ に任意の自然数を指定して、(3)の「1」のボタンを押すと、(4)の領域に $y=\sqrt{x}$ 、 $z$ に $y$ の整数部分(小数点より上の部分)が表示され、(5)の領域に $x-z^2$ を10進数で書いたときの各桁が、(6)の領域に $z$ を10進数で書いたときの各桁が表示されます。さらに $a=9$ がセットされます。

ボタン2 : ボタン1の後、(3)の「2」のボタンを押すと、(6)の領域(この値を $z'$ とします)の $2$ 倍の後に $a$ を追加したもの( $20z'+a$ )が(7)の領域に表示されます。

ボタン3 : その後、(3)の「3」のボタンを押すと、(6)の領域を $a$ 倍します( $20z'a+a^2$ )。

ボタン4 : その後、(3)の「4」のボタンを押すと、(5)の領域が(7)の領域以上のときは次の桁に進みます。(5)の領域から(7)の領域を引き、(5)の領域の後に $0$ を2個追加し、(6)の領域の後に $a$ を追加します。さらに $a=9$ とします。(5)の領域が(7)の領域より小さいときは $a$ を次の候補にします( $a$ を $1$ 減らします)。

ボタン5 : (3)の「5」のボタンを押すと、ボタン2、ボタン3、ボタン4を続けて実行します。

ボタン6 : (3)の「6」のボタンを押すと、次の桁に進むまでボタン5を繰り返して実行します。これで平方根の一桁が計算できます。

ボタン7 : (3)の「7」のボタンを押すと、 $c$ で指定した桁数の平方根を計算します。

各桁の求め方は関数プログラミングと無限論理多項式(1) - エレファント・コンピューティング調査報告に書いていますが少し修正します。

$r_0 = 0$ 、 $q_0 = x$ とします。 $n = 0, 1, \cdots$ に対して $r_n$ (小数点以下 $n$ 桁目までの値)、 $q_n$ 、 $h_n$ 、 $a_n \in D = \{0, 1, \cdots, 9\}$ (小数点以下 $n$ 桁目)を以下のように決めます。

(6) $r_{n+1} = r_n + 10^{-n} a_n$ 、
(5) $q_n = q_0 - r_n^2$ 、
(7) $h_n = r_{n+1}^2 - r_n^2 = q_n - q_{n+1} = r_n \cdot 10^{-n} a_n \cdot 2 + 10^{-2n} a_n^2$
$a_n = \max\{ a_n \in D \mid r_{n+1}^2 \le q_0 \} = \max\{ a_n \in D \mid h_n \le q_n \}$