対称式の基本定理 - エレファント・ビジュアライザー調査記録

[定理]

対称式は基本対称式の多項式となります。

[証明]

変数の個数 $n$ に関する帰納法で証明します。 1変数の場合は、その変数自身が基本対称式と考えられるので、成り立っています。

$n \ge 2$ として、 $n-1$ のときには成り立っていると仮定します。 $f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n})$ を対称式とします。 $f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n})$ を $x_{n}$ について整理して

$\LARGE f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n})=g_{0}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1})+g_{1}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1})x_{n}+ \cdots +g_{m}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1})x_{n}^{m}$

と書くと

$\LARGE g_{0}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1}),g_{1}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1}), \cdots ,g_{m}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1})$

は $x,y$ の対称式となります。よって $n-1$ 変数の場合より、

$\LARGE g_{0}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1}),g_{1}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1}), \cdots ,g_{m}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1})$

は $n-1$ 変数の基本対称式 $t_{1},t_{2}, \cdots ,t_{n-1}$ の多項式となります。これを

$\LARGE f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n})=h_{0}(t_{1},t_{2}, \cdots ,t_{n-1})+h_{1}(t_{1},t_{2}, \cdots ,t_{n-1})x_{n}+ \cdots +h_{m}(t_{1},t_{2}, \cdots ,t_{n-1})x_{n}^{m}$

とおきます。ここで $t_{1},t_{2}, \cdots ,t_{n-1}$ は

$\LARGE t_{k}=\displaystyle \sum_{1 \le i_{1} < i_{2} < \cdots < i_{k} \le n-1}^{}x_{i_{1}}x_{i_{2}} \cdots x_{i_{k}}$

です。 $t_{k}$ と $s_{k}$ の間には $x_{n}+t_{1}=s_{1}$ 、 $k=1,2, \cdots ,n-1$ のときは

[tex: \LARGE t_{k}x_{n}+t_{k+1}=\left( \displaystyle \sum_{1 \le i_{1} < i_{2} < \cdots < i_{k} \le n-1}^{}x_{i_{1}}x_{i_{2}} \cdots x_{i_{k}} \right) x_{n}+\left( \displaystyle \sum_{1 \le i_{1} < i_{2} < \cdots < i_{k}[証明終わり]