エレファント・ビジュアライザー調査記録

ビジュアルプログラミングで数式の変形を表すことを考えていくブロクです。

対称式の基本定理

[定理]

対称式は基本対称式の多項式となります。

[証明]

変数の個数 nに関する帰納法で証明します。 1変数の場合は、その変数自身が基本対称式と考えられるので、成り立っています。

 n \ge 2として、 n-1のときには成り立っていると仮定します。  f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n}) を対称式とします。  f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n}) x_{n}について整理して


 \LARGE f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n})=g_{0}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1})+g_{1}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1})x_{n}+ \cdots +g_{m}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1})x_{n}^{m}


と書くと


 \LARGE g_{0}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1}),g_{1}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1}), \cdots ,g_{m}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1})


 x,yの対称式となります。 よって n-1変数の場合より、


 \LARGE g_{0}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1}),g_{1}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1}), \cdots ,g_{m}(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n-1})


 n-1変数の基本対称式 t_{1},t_{2}, \cdots ,t_{n-1}多項式となります。 これを


 \LARGE f(x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n})=h_{0}(t_{1},t_{2}, \cdots ,t_{n-1})+h_{1}(t_{1},t_{2}, \cdots ,t_{n-1})x_{n}+ \cdots +h_{m}(t_{1},t_{2}, \cdots ,t_{n-1})x_{n}^{m}


とおきます。 ここで t_{1},t_{2}, \cdots ,t_{n-1}


 \LARGE t_{k}=\displaystyle \sum_{1 \le i_{1} < i_{2} <  \cdots  < i_{k} \le n-1}^{}x_{i_{1}}x_{i_{2}} \cdots x_{i_{k}}


です。  t_{k} s_{k}の間には  x_{n}+t_{1}=s_{1} k=1,2, \cdots ,n-1のときは


[tex: \LARGE t_{k}x_{n}+t_{k+1}=\left( \displaystyle \sum_{1 \le i_{1} < i_{2} < \cdots < i_{k} \le n-1}^{}x_{i_{1}}x_{i_{2}} \cdots x_{i_{k}} \right) x_{n}+\left( \displaystyle \sum_{1 \le i_{1} < i_{2} < \cdots < i_{k}[証明終わり]