数学ゲーム(32) - 非専門的シンギュラリティー研究所

フェルマーの小定理パズル(9)

(4)と(8)を少し変更します。

(4) $b^{n+1}_0 = b^n_0$ 、 $b^{n+1}_{n+1} = b^n_n$ が成り立ちます。( $n$ は自然数)
(8) $c(n+1, 0) = c(n, 0)$ 、 $c(n+1, n+1) = c(n, n)$ が成り立ちます。( $n$ は自然数)

「有理式と階乗計算システム」があるとします。これは「多項式計算システム」を含むとします。
「帰納法システム」があるとします。

二項定理の証明

(1) 単位元を持つ可換環 $R$ に対して単位元を持つ可換環 $R[X]$ を定義することができます。
(2) 多項式 $f$ の $n$ 乗を $f^n$ 、 $f^n$ の $X^k$ の係数を $f^n_k$ とします。
(3) $b = X + 1$ とおきます。
(4) $b^{n+1}_0 = b^n_0$ 、 $b^{n+1}_{n+1} = b^n_n$ が成り立ちます。( $n$ は自然数)
(5) $b^{n+1}_k = b^n_k + b^n_{k-1}$ が成り立ちます。( $n, k$ は自然数、 $1 \le k \le n-1$ )
(6) $b^n_k$ は整数となります。( $n, k$ は自然数、 $0 \le k \le n$ )
(7) $\displaystyle c(n, k) = \frac{n!}{k! \ (n-k)!}$ ( $n, k$ は自然数、 $0 \le k \le n$ ) とおきます。
(8) $c(n+1, 0) = c(n, 0)$ 、 $c(n+1, n+1) = c(n, n)$ が成り立ちます。( $n$ は自然数)
(9) $c(n+1, k) = c(n, k) + c(n, k-1)$ が成り立ちます。( $n, k$ は自然数、 $1 \le k \le n-1$ )
(10) $b^n_k = c(n, k)$ が成り立ちます。( $n, k$ は自然数、 $0 \le k \le n$ )
(11) $c(n, k)$ は整数となります。( $n, k$ は自然数、 $0 \le k \le n$ )
(12) $a \in R$ に対して $\sigma_a: R[X] \to R$ を $\displaystyle \sigma_a(f) = \sum_{k=0}^{\infty} f_k a^k$ と定義します。 $\sigma_a$ は単位元を持つ可換環の準同型となります。
(13) $x, y \in R$ に対して $\displaystyle (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k! \ (n-k)!} x^k y^{n-k}$ が成り立ちます。( $n$ は自然数)

(4) $b^{n+1}_0 = b^n_0$ 、 $b^{n+1}_{n+1} = b^n_n$ が成り立ちます。( $n$ は自然数)

「多項式計算システム」で以下の計算をします。
$\displaystyle b^{n+1}_0 = (b^n b)_0 = \sum_{i=0}^{0} b^n_i b_{0-i} = b^n_0 b_{0-0} = b^n_0 b_{0} = b^n_0$
$\displaystyle b^{n+1}_{n+1} = (b^n b)_{n+1} = \sum_{i=0}^{n+1} b^n_i b_{n+1-i} = b^n_n b_{n+1-n} = b^n_n b_{1} = b^n_n$

(5) $b^{n+1}_k = b^n_k + b^n_{k-1}$ が成り立ちます。( $n, k$ は自然数、 $1 \le k \le n-1$ )

「多項式計算システム」で以下の計算をします。
$\displaystyle b^{n+1}_{k} = (b^n b)_{k} = \sum_{i=0}^{n+1} b^n_i b_{n+1-i} = \sum_{i=k-1}^{k} b^n_i b_{n+1-i} = b^n_{k-1} b_{1} + b^n_{k} b_{0} = b^n_{k-1} + b^n_{k}$

(6) $b^n_k$ は整数となります。( $n, k$ は自然数、 $0 \le k \le n$ )

(4)と(5)から成り立ちます。

(8) $c(n+1, 0) = c(n, 0)$ 、 $c(n+1, n+1) = c(n, n)$ が成り立ちます。( $n$ は自然数)

「有理式と階乗計算システム」で以下の計算をします。 $n+1$ を $n(+1)$ と書いて $(+1)$ を演算子のように使えるとします。

$(n(+1))! = (n+1) \cdot n!$
$(n(+1)-m)! = (n+1-m) \cdot (n-m)!$
$n(+1)-m(+1) = n-m$

と変形できるとします。
$\displaystyle c(n(+1), 0) = \frac{(n(+1))!}{0! \cdot (n(+1)-0)!} = \frac{(n+1) \cdot n!}{0! \cdot (n+1) \cdot (n-0)!} = \frac{n!}{0! \cdot (n-0)!} = c(n, 0)$
$\displaystyle c(n(+1), n(+1)) = \frac{(n(+1))!}{(n(+1))! \cdot (n(+1)-n(+1))!} = \frac{(n+1) \cdot n!}{(n+1) \cdot n! \cdot (n-n)!} = \frac{n!}{n! \cdot (n-n)!} = c(n, n)$

(9) $c(n+1, k) = c(n, k) + c(n, k-1)$ が成り立ちます。( $n, k$ は自然数、 $1 \le k \le n-1$ )

「有理式と階乗計算システム」で以下の計算をします。 $n-1$ を $n(-1)$ と書いて $(-1)$ を演算子のように使えるとします。

$\displaystyle (n(-1))! = \frac{n!}{n}$
$(n-m(-1))! = (n-m+1) \cdot (n-m)!$

と変形できるとします。
$c(n+1, k) - c(n, k) - c(n, k-1) = 0$ を示します。
$\begin{eqnarray*} & & c(n+1, k) - c(n, k) - c(n, k-1) \\ & = & \frac{(n(+1))!}{k! \cdot (n(+1)-k)!} - \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} - \frac{n!}{(k(-1))! \cdot (n-k(-1))!} \\ & = & \frac{(n+1) \cdot n!}{k! \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!} - \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} - \frac{n!}{\frac{k!}{k} \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!} \\ & = & \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \cdot \left(\frac{n+1}{n-k+1} - 1 - \frac{k}{n-k+1}\right) \\ & = & 0 \end{eqnarray*}$